Belajar Fungsi dan Transformasi

Pendahuluan: Fungsi dan Transformasi

Fungsi dan transformasi merupakan konsep fundamental dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer. Pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep ini sangat penting untuk studi lanjutan dalam matematika dan ilmu terapan.

Apa yang akan Anda pelajari?

Konsep dasar fungsi dan sifat-sifatnya
Fungsi injektif (satu-satu): definisi, sifat, dan contoh
Fungsi surjektif (onto): definisi, sifat, dan contoh
Fungsi bijektif (satu-satu dan onto): definisi, sifat, dan contoh
Pengertian transformasi geometri dan jenis-jenisnya
Aplikasi transformasi dalam pemecahan masalah

Aplikasi ini dilengkapi dengan visualisasi interaktif untuk membantu Anda memahami konsep-konsep abstrak dengan lebih mudah, serta soal-soal latihan untuk menguji pemahaman Anda.

Petunjuk Penggunaan:

Gunakan tab di bagian atas untuk beralih antara topik-topik pembelajaran
Tekan tombol "EN | ID" untuk beralih antara Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris
Pelajari visualisasi interaktif untuk memahami konsep dengan lebih baik
Selesaikan soal-soal latihan untuk menguji pemahaman Anda

Introduction: Functions and Transformations

Functions and transformations are fundamental concepts in mathematics that have many applications in various fields, including physics, engineering, economics, and computer science. A strong understanding of these concepts is essential for advanced studies in mathematics and applied sciences.

What will you learn?

Basic concepts of functions and their properties
Injective (one-to-one) functions: definition, properties, and examples
Surjective (onto) functions: definition, properties, and examples
Bijective (one-to-one and onto) functions: definition, properties, and examples
Understanding geometric transformations and their types
Applications of transformations in problem-solving

This application is equipped with interactive visualizations to help you understand abstract concepts more easily, as well as practice problems to test your understanding.

Usage Instructions:

Use the tabs at the top to switch between learning topics
Press the "EN | ID" button to switch between English and Indonesian
Study the interactive visualizations to better understand the concepts
Complete the practice problems to test your understanding

Fungsi

Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap elemen dari suatu himpunan (disebut domain) ke tepat satu elemen dari himpunan lain (disebut kodomain). Jika \(f\) adalah fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\), kita tulis \(f: A \rightarrow B\).

Definisi Formal

Secara formal, fungsi \(f: A \rightarrow B\) adalah relasi dari \(A\) ke \(B\) dimana setiap \(a \in A\) dipasangkan dengan tepat satu \(b \in B\). Kita tulis \(f(a) = b\) untuk menyatakan bahwa \(b\) adalah nilai fungsi \(f\) di \(a\).

Syarat suatu relasi \(f\) dari \(A\) ke \(B\) merupakan fungsi:

Setiap anggota dalam domain \(A\) harus dipetakan ke dalam kodomain \(B\) (terdefinisi untuk setiap \(a \in A\))
Setiap anggota dalam domain \(A\) dipetakan ke tepat satu anggota dalam kodomain \(B\) (setiap input menghasilkan tepat satu output)

Visualisasi Fungsi

Berikut adalah visualisasi fungsi yang menunjukkan pemetaan dari domain ke kodomain. Perhatikan bahwa setiap elemen di domain harus dipetakan ke tepat satu elemen di kodomain:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Kodomain (B)

b₁

b₂

b₃

b₄

Range (Jangkauan) Fungsi

Range atau jangkauan fungsi \(f: A \rightarrow B\) adalah himpunan semua nilai \(f(a)\) untuk setiap \(a \in A\). Range adalah subset dari kodomain.

Secara matematis, range dari fungsi \(f: A \rightarrow B\) didefinisikan sebagai:

\( \text{Ran}(f) = \{b \in B \mid \exists a \in A, f(a) = b\} \)

Contoh Fungsi

Contoh 1: Fungsi Linear

\(f(x) = 2x + 3\) adalah fungsi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Domain: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)

Kodomain: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)

Range: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)

Contoh 2: Fungsi Kuadrat

\(f(x) = x^2\) adalah fungsi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Domain: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)

Kodomain: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)

Range: \([0, \infty)\) (semua bilangan real non-negatif)

Functions

A function is a rule that maps each element of a set (called the domain) to exactly one element of another set (called the codomain). If \(f\) is a function from set \(A\) to set \(B\), we write \(f: A \rightarrow B\).

Formal Definition

Formally, a function \(f: A \rightarrow B\) is a relation from \(A\) to \(B\) where each \(a \in A\) is paired with exactly one \(b \in B\). We write \(f(a) = b\) to state that \(b\) is the value of the function \(f\) at \(a\).

Requirements for a relation \(f\) from \(A\) to \(B\) to be a function:

Every member in the domain \(A\) must be mapped to the codomain \(B\) (defined for every \(a \in A\))
Every member in the domain \(A\) is mapped to exactly one member in the codomain \(B\) (each input produces exactly one output)

Function Visualization

Below is a visualization of a function showing the mapping from domain to codomain. Note that each element in the domain must be mapped to exactly one element in the codomain:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Codomain (B)

b₁

b₂

b₃

b₄

Range of a Function

The range of a function \(f: A \rightarrow B\) is the set of all values \(f(a)\) for every \(a \in A\). The range is a subset of the codomain.

Mathematically, the range of a function \(f: A \rightarrow B\) is defined as:

\( \text{Ran}(f) = \{b \in B \mid \exists a \in A, f(a) = b\} \)

Examples of Functions

Example 1: Linear Function

\(f(x) = 2x + 3\) is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Domain: \(\mathbb{R}\) (all real numbers)

Codomain: \(\mathbb{R}\) (all real numbers)

Range: \(\mathbb{R}\) (all real numbers)

Example 2: Quadratic Function

\(f(x) = x^2\) is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Domain: \(\mathbb{R}\) (all real numbers)

Codomain: \(\mathbb{R}\) (all real numbers)

Range: \([0, \infty)\) (all non-negative real numbers)

Fungsi Injektif (Satu-Satu)

Fungsi injektif (atau satu-satu) adalah fungsi dimana setiap elemen di kodomain yang dipetakan memiliki paling banyak satu preimage (nilai asal) dari domain. Dengan kata lain, jika \(f(a) = f(b)\), maka \(a = b\) untuk setiap \(a, b\) di domain.

Definisi Formal

Fungsi \(f: A \rightarrow B\) dikatakan injektif jika dan hanya jika:

\(\forall a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)

Secara ekuivalen, fungsi \(f: A \rightarrow B\) injektif jika dan hanya jika:

\(\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)\)

Visualisasi Fungsi Injektif

Berikut adalah visualisasi fungsi injektif. Perhatikan bahwa setiap elemen di kodomain memiliki paling banyak satu elemen dari domain yang dipetakan kepadanya:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Kodomain (B)

b₁

b₂

b₃

b₄

b₅

Cara Membuktikan Fungsi Injektif

Metode 1: Pembuktian Langsung

Misalkan \(f(a) = f(b)\), lalu tunjukkan bahwa \(a = b\).

Metode 2: Pembuktian Kontrapositif

Misalkan \(a \neq b\), lalu tunjukkan bahwa \(f(a) \neq f(b)\).

Metode 3: Menggunakan Derivatif (untuk fungsi terdiferensial)

Jika \(f'(x) > 0\) untuk semua \(x\) dalam domain (atau \(f'(x) < 0\) untuk semua \(x\) dalam domain), maka \(f\) adalah fungsi injektif.

Contoh Fungsi Injektif

Contoh 1: Fungsi Linear

\(f(x) = 3x + 2\) adalah fungsi injektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti: Misalkan \(f(a) = f(b)\) untuk suatu \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(3a + 2 = 3b + 2\)

\(3a = 3b\)

\(a = b\)

Jadi, \(f\) adalah fungsi injektif.

Contoh 2: Fungsi Kubik

\(f(x) = x^3\) adalah fungsi injektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti: Misalkan \(f(a) = f(b)\) untuk suatu \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(a^3 = b^3\)

\(a = b\) (karena jika \(a^3 = b^3\), maka \(a = b\) untuk \(a, b \in \mathbb{R}\))

Jadi, \(f\) adalah fungsi injektif.

Contoh Fungsi Non-Injektif

Fungsi Kuadrat: \(f(x) = x^2\)

Ini bukan fungsi injektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) karena \(f(-1) = f(1) = 1\) tetapi \(-1 \neq 1\).

Secara umum, \(f(a) = f(-a)\) untuk setiap \(a \neq 0\), sehingga \(f\) tidak injektif.

Namun, jika kita batasi domain menjadi \([0, \infty)\), maka \(f(x) = x^2\) menjadi fungsi injektif.

Injective Functions (One-to-One)

An injective function (or one-to-one function) is a function where each element in the codomain that is mapped has at most one preimage from the domain. In other words, if \(f(a) = f(b)\), then \(a = b\) for all \(a, b\) in the domain.

Formal Definition

A function \(f: A \rightarrow B\) is said to be injective if and only if:

\(\forall a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)

Equivalently, a function \(f: A \rightarrow B\) is injective if and only if:

\(\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)\)

Visualization of Injective Functions

Below is a visualization of an injective function. Notice that each element in the codomain has at most one element from the domain mapped to it:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Codomain (B)

b₁

b₂

b₃

b₄

b₅

How to Prove a Function is Injective

Method 1: Direct Proof

Assume that \(f(a) = f(b)\), then show that \(a = b\).

Method 2: Contrapositive Proof

Assume that \(a \neq b\), then show that \(f(a) \neq f(b)\).

Method 3: Using Derivatives (for differentiable functions)

If \(f'(x) > 0\) for all \(x\) in the domain (or \(f'(x) < 0\) for all \(x\) in the domain), then \(f\) is an injective function.

Examples of Injective Functions

Example 1: Linear Function

\(f(x) = 3x + 2\) is an injective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof: Let \(f(a) = f(b)\) for some \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(3a + 2 = 3b + 2\)

\(3a = 3b\)

\(a = b\)

Therefore, \(f\) is injective.

Example 2: Cubic Function

\(f(x) = x^3\) is an injective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof: Let \(f(a) = f(b)\) for some \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(a^3 = b^3\)

\(a = b\) (because if \(a^3 = b^3\), then \(a = b\) for \(a, b \in \mathbb{R}\))

Therefore, \(f\) is injective.

Examples of Non-Injective Functions

Quadratic Function: \(f(x) = x^2\)

This is not an injective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) because \(f(-1) = f(1) = 1\) but \(-1 \neq 1\).

In general, \(f(a) = f(-a)\) for any \(a \neq 0\), so \(f\) is not injective.

However, if we restrict the domain to \([0, \infty)\), then \(f(x) = x^2\) becomes an injective function.

Fungsi Surjektif (Onto)

Fungsi surjektif (atau onto) adalah fungsi dimana setiap elemen di kodomain memiliki setidaknya satu preimage dari domain. Dengan kata lain, range dari fungsi sama dengan kodomain.

Definisi Formal

Fungsi \(f: A \rightarrow B\) dikatakan surjektif jika dan hanya jika:

\(\forall b \in B, \exists a \in A \text{ sedemikian sehingga } f(a) = b\)

Dengan kata lain, untuk setiap elemen \(b\) dalam kodomain \(B\), terdapat setidaknya satu elemen \(a\) dalam domain \(A\) yang dipetakan ke \(b\).

Visualisasi Fungsi Surjektif

Berikut adalah visualisasi fungsi surjektif. Perhatikan bahwa setiap elemen di kodomain memiliki setidaknya satu elemen dari domain yang dipetakan kepadanya:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

a₄

Kodomain (B)

b₁

b₂

b₃

Cara Membuktikan Fungsi Surjektif

Metode Umum:

Pilih elemen \(b\) yang sembarang dari kodomain \(B\).
Temukan elemen \(a\) dari domain \(A\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\).
Jika untuk setiap \(b \in B\) bisa ditemukan \(a \in A\) sehingga \(f(a) = b\), maka \(f\) adalah fungsi surjektif.

Untuk Fungsi Real:

Tunjukkan bahwa range fungsi sama dengan kodomain dengan membuktikan bahwa untuk setiap \(y\) dalam kodomain, persamaan \(f(x) = y\) memiliki solusi untuk \(x\) dalam domain.

Contoh Fungsi Surjektif

Contoh 1: Fungsi Linear

\(f(x) = 2x + 3\) adalah fungsi surjektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti: Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), kita perlu menemukan \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(f(x) = y\).

\(2x + 3 = y\)

\(2x = y - 3\)

\(x = \frac{y - 3}{2}\)

Karena untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), nilai \(x = \frac{y - 3}{2}\) juga berada di \(\mathbb{R}\), maka \(f\) adalah fungsi surjektif.

Contoh 2: Fungsi Kubik

\(f(x) = x^3\) adalah fungsi surjektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti: Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), kita perlu menemukan \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(f(x) = y\).

\(x^3 = y\)

\(x = \sqrt[3]{y}\)

Karena akar pangkat tiga terdefinisi untuk semua bilangan real, maka untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), nilai \(x = \sqrt[3]{y}\) juga berada di \(\mathbb{R}\). Jadi, \(f\) adalah fungsi surjektif.

Contoh Fungsi Non-Surjektif

Fungsi Kuadrat: \(f(x) = x^2\) dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Ini bukan fungsi surjektif karena tidak ada \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(f(x) = -1\). Dengan kata lain, \(x^2 = -1\) tidak memiliki solusi real.

Secara umum, range dari \(f(x) = x^2\) adalah \([0, \infty)\), yang merupakan subset sejati dari kodomain \(\mathbb{R}\).

Namun, jika kodomainnya diubah menjadi \([0, \infty)\), maka \(f(x) = x^2\) dari \(\mathbb{R}\) ke \([0, \infty)\) menjadi fungsi surjektif.

Surjective Functions (Onto)

A surjective function (or onto function) is a function where every element in the codomain has at least one preimage from the domain. In other words, the range of the function is equal to the codomain.

Formal Definition

A function \(f: A \rightarrow B\) is said to be surjective if and only if:

\(\forall b \in B, \exists a \in A \text{ such that } f(a) = b\)

In other words, for every element \(b\) in the codomain \(B\), there exists at least one element \(a\) in the domain \(A\) that maps to \(b\).

Visualization of Surjective Functions

Below is a visualization of a surjective function. Notice that every element in the codomain has at least one element from the domain mapped to it:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

a₄

Codomain (B)

b₁

b₂

b₃

How to Prove a Function is Surjective

General Method:

Choose an arbitrary element \(b\) from the codomain \(B\).
Find an element \(a\) from the domain \(A\) such that \(f(a) = b\).
If for every \(b \in B\) we can find an \(a \in A\) such that \(f(a) = b\), then \(f\) is a surjective function.

For Real Functions:

Show that the range of the function equals the codomain by proving that for every \(y\) in the codomain, the equation \(f(x) = y\) has a solution for \(x\) in the domain.

Examples of Surjective Functions

Example 1: Linear Function

\(f(x) = 2x + 3\) is a surjective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof: For any \(y \in \mathbb{R}\), we need to find an \(x \in \mathbb{R}\) such that \(f(x) = y\).

\(2x + 3 = y\)

\(2x = y - 3\)

\(x = \frac{y - 3}{2}\)

Since for every \(y \in \mathbb{R}\), the value \(x = \frac{y - 3}{2}\) is also in \(\mathbb{R}\), \(f\) is a surjective function.

Example 2: Cubic Function

\(f(x) = x^3\) is a surjective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof: For any \(y \in \mathbb{R}\), we need to find an \(x \in \mathbb{R}\) such that \(f(x) = y\).

\(x^3 = y\)

\(x = \sqrt[3]{y}\)

Since the cube root is defined for all real numbers, for every \(y \in \mathbb{R}\), the value \(x = \sqrt[3]{y}\) is also in \(\mathbb{R}\). Therefore, \(f\) is surjective.

Examples of Non-Surjective Functions

Quadratic Function: \(f(x) = x^2\) from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

This is not a surjective function because there is no \(x \in \mathbb{R}\) such that \(f(x) = -1\). In other words, \(x^2 = -1\) has no real solutions.

In general, the range of \(f(x) = x^2\) is \([0, \infty)\), which is a proper subset of the codomain \(\mathbb{R}\).

However, if we change the codomain to \([0, \infty)\), then \(f(x) = x^2\) from \(\mathbb{R}\) to \([0, \infty)\) becomes a surjective function.

Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Onto)

Fungsi bijektif adalah fungsi yang sekaligus injektif dan surjektif. Dengan kata lain, setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu preimage dari domain.

Definisi Formal

Fungsi \(f: A \rightarrow B\) dikatakan bijektif jika dan hanya jika:

\(f\) adalah fungsi injektif: \(\forall a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)
\(f\) adalah fungsi surjektif: \(\forall b \in B, \exists a \in A \text{ sedemikian sehingga } f(a) = b\)

Visualisasi Fungsi Bijektif

Berikut adalah visualisasi fungsi bijektif. Perhatikan bahwa setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu elemen dari domain yang dipetakan kepadanya:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Kodomain (B)

b₁

b₂

b₃

Cara Membuktikan Fungsi Bijektif

Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi \(f: A \rightarrow B\) adalah bijektif, Anda harus membuktikan bahwa \(f\) adalah injektif dan surjektif:

Langkah 1: Buktikan \(f\) injektif

Tunjukkan bahwa jika \(f(a) = f(b)\), maka \(a = b\) untuk setiap \(a, b \in A\).

Langkah 2: Buktikan \(f\) surjektif

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(b \in B\), terdapat \(a \in A\) sehingga \(f(a) = b\).

Metode Alternatif: Menggunakan Fungsi Invers

Jika Anda dapat menemukan fungsi invers \(f^{-1}: B \rightarrow A\) sedemikian sehingga \(f^{-1}(f(a)) = a\) untuk setiap \(a \in A\) dan \(f(f^{-1}(b)) = b\) untuk setiap \(b \in B\), maka \(f\) adalah fungsi bijektif.

Contoh Fungsi Bijektif

Contoh 1: Fungsi Linear

\(f(x) = 3x + 2\) adalah fungsi bijektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti Injektif:

Misalkan \(f(a) = f(b)\) untuk suatu \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(3a + 2 = 3b + 2\)

\(3a = 3b\)

\(a = b\)

Jadi, \(f\) adalah fungsi injektif.

Bukti Surjektif:

Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), kita perlu menemukan \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(f(x) = y\).

\(3x + 2 = y\)

\(3x = y - 2\)

\(x = \frac{y - 2}{3}\)

Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), nilai \(x = \frac{y - 2}{3}\) juga berada di \(\mathbb{R}\). Jadi, \(f\) adalah fungsi surjektif.

Karena \(f\) injektif dan surjektif, maka \(f\) adalah fungsi bijektif.

Contoh 2: Fungsi Kubik

\(f(x) = x^3\) adalah fungsi bijektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\)

Bukti Injektif:

Misalkan \(f(a) = f(b)\) untuk suatu \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(a^3 = b^3\)

\(a = b\) (karena jika \(a^3 = b^3\), maka \(a = b\) untuk \(a, b \in \mathbb{R}\))

Jadi, \(f\) adalah fungsi injektif.

Bukti Surjektif:

Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), kita perlu menemukan \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(f(x) = y\).

\(x^3 = y\)

\(x = \sqrt[3]{y}\)

Karena akar pangkat tiga terdefinisi untuk semua bilangan real, untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), nilai \(x = \sqrt[3]{y}\) juga berada di \(\mathbb{R}\). Jadi, \(f\) adalah fungsi surjektif.

Karena \(f\) injektif dan surjektif, maka \(f\) adalah fungsi bijektif.

Fungsi Invers

Salah satu properti penting dari fungsi bijektif adalah bahwa fungsi tersebut memiliki invers yang juga merupakan fungsi. Jika \(f: A \rightarrow B\) adalah fungsi bijektif, maka terdapat fungsi \(f^{-1}: B \rightarrow A\) sedemikian sehingga:

\(f^{-1}(f(a)) = a\) untuk setiap \(a \in A\)

\(f(f^{-1}(b)) = b\) untuk setiap \(b \in B\)

Contoh Fungsi Invers:

Jika \(f(x) = 3x + 2\), invers dari \(f\) adalah \(f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}\).

Kita dapat memverifikasi bahwa \(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x + 2) = \frac{(3x + 2) - 2}{3} = \frac{3x}{3} = x\).

Dan \(f(f^{-1}(y)) = f(\frac{y - 2}{3}) = 3 \cdot \frac{y - 2}{3} + 2 = y - 2 + 2 = y\).

Bijective Functions (One-to-One and Onto)

A bijective function is a function that is both injective and surjective. In other words, every element in the codomain has exactly one preimage from the domain.

Formal Definition

A function \(f: A \rightarrow B\) is said to be bijective if and only if:

\(f\) is an injective function: \(\forall a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)
\(f\) is a surjective function: \(\forall b \in B, \exists a \in A \text{ such that } f(a) = b\)

Visualization of Bijective Functions

Below is a visualization of a bijective function. Notice that every element in the codomain has exactly one element from the domain mapped to it:

Domain (A)

a₁

a₂

a₃

Codomain (B)

b₁

b₂

b₃

How to Prove a Function is Bijective

To prove that a function \(f: A \rightarrow B\) is bijective, you must prove that \(f\) is both injective and surjective:

Step 1: Prove \(f\) is injective

Show that if \(f(a) = f(b)\), then \(a = b\) for all \(a, b \in A\).

Step 2: Prove \(f\) is surjective

Show that for every \(b \in B\), there exists \(a \in A\) such that \(f(a) = b\).

Alternative Method: Using the Inverse Function

If you can find an inverse function \(f^{-1}: B \rightarrow A\) such that \(f^{-1}(f(a)) = a\) for all \(a \in A\) and \(f(f^{-1}(b)) = b\) for all \(b \in B\), then \(f\) is a bijective function.

Examples of Bijective Functions

Example 1: Linear Function

\(f(x) = 3x + 2\) is a bijective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof of Injectivity:

Let \(f(a) = f(b)\) for some \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(3a + 2 = 3b + 2\)

\(3a = 3b\)

\(a = b\)

Therefore, \(f\) is injective.

Proof of Surjectivity:

For any \(y \in \mathbb{R}\), we need to find an \(x \in \mathbb{R}\) such that \(f(x) = y\).

\(3x + 2 = y\)

\(3x = y - 2\)

\(x = \frac{y - 2}{3}\)

For every \(y \in \mathbb{R}\), the value \(x = \frac{y - 2}{3}\) is also in \(\mathbb{R}\). Therefore, \(f\) is surjective.

Since \(f\) is both injective and surjective, \(f\) is bijective.

Example 2: Cubic Function

\(f(x) = x^3\) is a bijective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)

Proof of Injectivity:

Let \(f(a) = f(b)\) for some \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(a^3 = b^3\)

\(a = b\) (because if \(a^3 = b^3\), then \(a = b\) for \(a, b \in \mathbb{R}\))

Therefore, \(f\) is injective.

Proof of Surjectivity:

For any \(y \in \mathbb{R}\), we need to find an \(x \in \mathbb{R}\) such that \(f(x) = y\).

\(x^3 = y\)

\(x = \sqrt[3]{y}\)

Since the cube root is defined for all real numbers, for every \(y \in \mathbb{R}\), the value \(x = \sqrt[3]{y}\) is also in \(\mathbb{R}\). Therefore, \(f\) is surjective.

Since \(f\) is both injective and surjective, \(f\) is bijective.

Inverse Functions

One important property of bijective functions is that they have an inverse that is also a function. If \(f: A \rightarrow B\) is a bijective function, then there exists a function \(f^{-1}: B \rightarrow A\) such that:

\(f^{-1}(f(a)) = a\) for all \(a \in A\)

\(f(f^{-1}(b)) = b\) for all \(b \in B\)

Example of an Inverse Function:

If \(f(x) = 3x + 2\), the inverse of \(f\) is \(f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}\).

We can verify that \(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x + 2) = \frac{(3x + 2) - 2}{3} = \frac{3x}{3} = x\).

And \(f(f^{-1}(y)) = f(\frac{y - 2}{3}) = 3 \cdot \frac{y - 2}{3} + 2 = y - 2 + 2 = y\).

Transformasi Geometri

Transformasi dalam matematika adalah fungsi yang memetakan suatu himpunan ke himpunan lain. Transformasi geometri secara khusus adalah fungsi yang memetakan titik-titik pada bidang atau ruang ke titik-titik lain pada bidang atau ruang yang sama, dengan aturan tertentu.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah transformasi yang menggeser semua titik dengan jarak dan arah yang sama. Jika \((x, y)\) adalah titik pada bidang, translasi dengan vektor \((a, b)\) akan menghasilkan titik baru \((x+a, y+b)\).

Secara matematis, translasi dengan vektor \((a, b)\) dapat ditulis sebagai:

\(T_{(a,b)}(x, y) = (x+a, y+b)\)

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memutar titik-titik dengan sudut tertentu terhadap titik pusat tertentu. Jika \((x, y)\) adalah titik pada bidang, rotasi sebesar \(\theta\) radian berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal \((0, 0)\) akan menghasilkan titik baru \((x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\).

Secara matematis, rotasi sebesar \(\theta\) radian terhadap titik asal dapat ditulis sebagai:

\(R_{\theta}(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\)

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah transformasi yang mencerminkan titik-titik terhadap garis atau bidang tertentu. Beberapa contoh refleksi:

Refleksi terhadap sumbu-x: \(R_x(x, y) = (x, -y)\)
Refleksi terhadap sumbu-y: \(R_y(x, y) = (-x, y)\)
Refleksi terhadap garis \(y = x\): \(R_{y=x}(x, y) = (y, x)\)
Refleksi terhadap titik asal: \(R_O(x, y) = (-x, -y)\)

4. Dilatasi (Penskalaan)

Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil objek dengan faktor skala tertentu. Jika \((x, y)\) adalah titik pada bidang, dilatasi dengan faktor skala \(k\) terhadap titik asal akan menghasilkan titik baru \((kx, ky)\).

Secara matematis, dilatasi dengan faktor skala \(k\) terhadap titik asal dapat ditulis sebagai:

\(D_k(x, y) = (kx, ky)\)

Visualisasi Transformasi

Berikut adalah visualisasi interaktif yang menunjukkan berbagai jenis transformasi geometri pada bidang koordinat:

Jenis Transformasi:

Translasi X:

Translasi Y:

Transformasi dan Sifat-Sifat Fungsi

Transformasi geometri berkaitan erat dengan sifat-sifat fungsi yang telah kita bahas sebelumnya:

Transformasi dan Sifat Injektif

Transformasi geometri yang bersifat injektif akan memetakan setiap titik di bidang ke titik yang berbeda pada hasil transformasi. Contoh transformasi injektif adalah rotasi dan translasi.

Transformasi dan Sifat Surjektif

Transformasi geometri yang bersifat surjektif akan menghasilkan jangkauan yang mencakup seluruh kodomain. Untuk transformasi pada bidang, ini berarti bahwa setiap titik pada bidang hasil transformasi merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu titik pada bidang asal.

Transformasi dan Sifat Bijektif

Transformasi geometri yang bersifat bijektif akan memetakan setiap titik di bidang ke tepat satu titik pada hasil transformasi, dan setiap titik pada hasil transformasi merupakan hasil pemetaan dari tepat satu titik pada bidang asal. Transformasi bijektif memiliki invers yang juga merupakan transformasi. Contoh transformasi bijektif adalah rotasi, translasi, dan refleksi terhadap garis.

Aplikasi Transformasi Geometri

1. Dalam Komputer Grafis

Transformasi geometri digunakan dalam komputer grafis untuk mengubah posisi, orientasi, dan ukuran objek pada layar. Misalnya, rotasi, translasi, dan penskalaan digunakan dalam pembuatan animasi dan pengolahan gambar.

2. Dalam Fisika

Transformasi koordinat digunakan dalam fisika untuk mendeskripsikan perubahan kerangka referensi. Misalnya, transformasi Galileo dalam mekanika klasik dan transformasi Lorentz dalam teori relativitas.

3. Dalam Seni dan Arsitektur

Transformasi geometri digunakan dalam seni dan arsitektur untuk menciptakan pola, simetri, dan perspektif. Misalnya, refleksi dan rotasi digunakan dalam desain pola geometris pada bangunan dan karya seni.

4. Dalam Robotika

Transformasi koordinat digunakan dalam robotika untuk menghitung posisi dan orientasi robot. Matriks transformasi digunakan untuk mendeskripsikan hubungan antara berbagai bagian robot dan untuk merencanakan gerakan robot.

Geometric Transformations

A transformation in mathematics is a function that maps one set to another. Geometric transformations specifically are functions that map points in a plane or space to other points in the same plane or space, according to certain rules.

Types of Geometric Transformations

1. Translation

Translation is a transformation that shifts all points by the same distance and in the same direction. If \((x, y)\) is a point in the plane, translation by the vector \((a, b)\) will result in a new point \((x+a, y+b)\).

Mathematically, translation by the vector \((a, b)\) can be written as:

\(T_{(a,b)}(x, y) = (x+a, y+b)\)

2. Rotation

Rotation is a transformation that rotates points by a certain angle around a specific center point. If \((x, y)\) is a point in the plane, rotation by \(\theta\) radians counterclockwise around the origin \((0, 0)\) will result in a new point \((x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\).

Mathematically, rotation by \(\theta\) radians around the origin can be written as:

\(R_{\theta}(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\)

3. Reflection

Reflection is a transformation that reflects points across a line or plane. Some examples of reflections:

Reflection across the x-axis: \(R_x(x, y) = (x, -y)\)
Reflection across the y-axis: \(R_y(x, y) = (-x, y)\)
Reflection across the line \(y = x\): \(R_{y=x}(x, y) = (y, x)\)
Reflection across the origin: \(R_O(x, y) = (-x, -y)\)

4. Dilation (Scaling)

Dilation is a transformation that enlarges or shrinks objects by a scale factor. If \((x, y)\) is a point in the plane, dilation by a scale factor \(k\) from the origin will result in a new point \((kx, ky)\).

Mathematically, dilation by a scale factor \(k\) from the origin can be written as:

\(D_k(x, y) = (kx, ky)\)

Visualization of Transformations

Below is an interactive visualization showing various types of geometric transformations in the coordinate plane:

Transformation Type:

Translation X:

Translation Y:

Transformations and Function Properties

Geometric transformations are closely related to the function properties we discussed earlier:

Transformations and Injectivity

Geometric transformations that are injective will map each point in the plane to a different point in the result of the transformation. Examples of injective transformations are rotation and translation.

Transformations and Surjectivity

Geometric transformations that are surjective will result in a range that covers the entire codomain. For transformations in the plane, this means that every point in the resulting plane is the image of at least one point in the original plane.

Transformations and Bijectivity

Geometric transformations that are bijective will map each point in the plane to exactly one point in the result of the transformation, and each point in the result is the image of exactly one point in the original plane. Bijective transformations have an inverse that is also a transformation. Examples of bijective transformations are rotation, translation, and reflection across a line.

Applications of Geometric Transformations

1. In Computer Graphics

Geometric transformations are used in computer graphics to change the position, orientation, and size of objects on the screen. For example, rotation, translation, and scaling are used in creating animations and image processing.

2. In Physics

Coordinate transformations are used in physics to describe changes in reference frames. For example, Galilean transformations in classical mechanics and Lorentz transformations in relativity theory.

3. In Art and Architecture

Geometric transformations are used in art and architecture to create patterns, symmetry, and perspective. For example, reflections and rotations are used in the design of geometric patterns in buildings and artwork.

4. In Robotics

Coordinate transformations are used in robotics to calculate the position and orientation of robots. Transformation matrices are used to describe the relationship between various parts of a robot and to plan the robot's movements.

Studi Kasus dan Latihan Soal

Berikut adalah beberapa studi kasus dan latihan soal untuk memperdalam pemahaman Anda tentang fungsi dan transformasi. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan mendetail.

Soal 1: Fungsi Injektif dan Surjektif

Pertanyaan:

Tentukan apakah fungsi berikut injektif, surjektif, atau bijektif. Berikan alasan untuk setiap jawaban.

\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) didefinisikan oleh \(f(n) = n^2\)
\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan oleh \(g(x) = x^3 - x\)
\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) didefinisikan oleh \(h(x) = e^x\)
\(k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan oleh \(k(x) = \frac{2x+1}{3x-2}\)

Pembahasan:

a. \(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) didefinisikan oleh \(f(n) = n^2\)

Injektif? Tidak. Contohnya, \(f(1) = 1\) dan \(f(-1) = 1\), tetapi \(1 \neq -1\). Jadi, dua input yang berbeda menghasilkan output yang sama.
Surjektif? Tidak. Tidak semua bilangan bulat bisa dinyatakan sebagai kuadrat dari bilangan bulat lain. Misalnya, tidak ada \(n \in \mathbb{Z}\) sehingga \(f(n) = -1\) atau \(f(n) = 2\).
Bijektif? Tidak, karena \(f\) tidak injektif dan tidak surjektif.

b. \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan oleh \(g(x) = x^3 - x\)

Injektif? Kita perlu membuktikan bahwa jika \(g(a) = g(b)\), maka \(a = b\).
\(a^3 - a = b^3 - b\)
\(a^3 - b^3 = a - b\)
\((a-b)(a^2 + ab + b^2) = (a-b)\)
Jika \(a \neq b\), maka \(a^2 + ab + b^2 = 1\). Karena \(a^2 + ab + b^2 > 0\) untuk semua \(a, b \in \mathbb{R}\), persamaan ini memiliki solusi. Contohnya, jika \(a = 0\) dan \(b = 1\), maka \(0 + 0 + 1 = 1\).
Ini berarti terdapat nilai \(a\) dan \(b\) dengan \(a \neq b\) tetapi \(g(a) = g(b)\). Jadi, \(g\) tidak injektif.
Surjektif? Untuk membuktikan bahwa \(g\) surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), terdapat \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(g(x) = y\).
Kita tahu bahwa \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) dan \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). Karena \(g\) adalah fungsi kontinu, menurut teorema nilai menengah, \(g\) mengambil semua nilai antara \(-\infty\) dan \(\infty\). Jadi, \(g\) adalah fungsi surjektif.
Bijektif? Tidak, karena \(g\) tidak injektif meskipun surjektif.

c. \(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) didefinisikan oleh \(h(x) = e^x\)

Injektif? Ya. Jika \(h(a) = h(b)\), maka \(e^a = e^b\). Dengan mengambil logaritma natural di kedua sisi, kita mendapatkan \(a = b\). Jadi, \(h\) adalah fungsi injektif.
Surjektif? Ya. Untuk setiap \(y \in \mathbb{R}^+\), kita dapat menemukan \(x \in \mathbb{R}\) sehingga \(h(x) = y\). Caranya adalah dengan mengambil \(x = \ln(y)\). Jadi, \(h\) adalah fungsi surjektif dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}^+\).
Bijektif? Ya, karena \(h\) injektif dan surjektif.

d. \(k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan oleh \(k(x) = \frac{2x+1}{3x-2}\)

Domain: Perhatikan bahwa \(k(x)\) tidak terdefinisi jika \(3x - 2 = 0\), yaitu ketika \(x = \frac{2}{3}\). Jadi, domain sebenarnya adalah \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\).
Injektif? Misalkan \(k(a) = k(b)\) untuk suatu \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\).
\(\frac{2a+1}{3a-2} = \frac{2b+1}{3b-2}\)
\((2a+1)(3b-2) = (2b+1)(3a-2)\)
\(6ab - 4a + 3b - 2 = 6ab - 4b + 3a - 2\)
\(-4a + 3b = -4b + 3a\)
\(3b - 3a = 4b - 4a\)
\(-b + a = 0\)
\(a = b\)
Jadi, \(k\) adalah fungsi injektif.
Surjektif? Untuk membuktikan bahwa \(k\) surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\), terdapat \(x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\) sehingga \(k(x) = y\).
\(\frac{2x+1}{3x-2} = y\)
\(2x+1 = y(3x-2)\)
\(2x+1 = 3xy - 2y\)
\(2x - 3xy = -1 - 2y\)
\(x(2 - 3y) = -1 - 2y\)
\(x = \frac{-1 - 2y}{2 - 3y}\)
Persamaan di atas memiliki solusi untuk setiap \(y \in \mathbb{R}\) kecuali \(y = \frac{2}{3}\). Jadi, range dari \(k\) adalah \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Karena range tidak sama dengan kodomain, \(k\) bukan fungsi surjektif.
Bijektif? Tidak, karena \(k\) tidak surjektif meskipun injektif.

Soal 2: Fungsi Komposisi dan Transformasi

Pertanyaan:

Misalkan \(T_1\) adalah transformasi translasi dengan vektor \((3, 4)\) dan \(R\) adalah transformasi rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Tentukan:

Rumus untuk transformasi \(T_1\) dan \(R\).
Hasil dari komposisi transformasi \(R \circ T_1\) (rotasi diikuti oleh translasi).
Hasil dari komposisi transformasi \(T_1 \circ R\) (translasi diikuti oleh rotasi).
Apakah \(R \circ T_1 = T_1 \circ R\)? Jika tidak, jelaskan mengapa urutan transformasi penting.

Pembahasan:

a. Rumus untuk transformasi \(T_1\) dan \(R\)

Transformasi translasi \(T_1\) dengan vektor \((3, 4)\) dapat ditulis sebagai:

\(T_1(x, y) = (x + 3, y + 4)\)

Transformasi rotasi \(R\) sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal dapat ditulis sebagai:

\(R(x, y) = (-y, x)\)

Perhatikan bahwa rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dapat diperoleh dengan menggunakan matriks rotasi \(\begin{pmatrix} \cos(90°) & -\sin(90°) \\ \sin(90°) & \cos(90°) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

b. Hasil dari komposisi transformasi \(R \circ T_1\) (rotasi diikuti oleh translasi)

Komposisi \(R \circ T_1\) berarti kita terlebih dahulu menerapkan transformasi \(T_1\), lalu menerapkan transformasi \(R\) pada hasilnya.

\(R \circ T_1(x, y) = R(T_1(x, y)) = R(x + 3, y + 4) = (-(y + 4), x + 3) = (-y - 4, x + 3)\)

c. Hasil dari komposisi transformasi \(T_1 \circ R\) (translasi diikuti oleh rotasi)

Komposisi \(T_1 \circ R\) berarti kita terlebih dahulu menerapkan transformasi \(R\), lalu menerapkan transformasi \(T_1\) pada hasilnya.

\(T_1 \circ R(x, y) = T_1(R(x, y)) = T_1(-y, x) = (-y + 3, x + 4)\)

d. Apakah \(R \circ T_1 = T_1 \circ R\)?

Dari hasil pada bagian (b) dan (c), kita tahu bahwa:

\(R \circ T_1(x, y) = (-y - 4, x + 3)\)

\(T_1 \circ R(x, y) = (-y + 3, x + 4)\)

Karena \((-y - 4, x + 3) \neq (-y + 3, x + 4)\) untuk semua \((x, y)\), maka \(R \circ T_1 \neq T_1 \circ R\).

Urutan transformasi penting karena translasi dan rotasi umumnya tidak komutatif. Ketika kita melakukan rotasi terlebih dahulu, titik-titik diputar mengelilingi titik asal, lalu ditranslasi. Sedangkan ketika kita melakukan translasi terlebih dahulu, titik-titik dipindahkan, lalu diputar mengelilingi titik asal. Hasil akhirnya dapat berbeda karena titik-titik awal yang dirotasi tidak sama dengan titik-titik awal yang ditranslasi.

Soal 3: Fungsi Bijektif dan Fungsi Invers

Pertanyaan:

Diberikan fungsi \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan oleh \(f(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\).

Tentukan domain dan range dari \(f\).
Buktikan bahwa \(f\) adalah fungsi bijektif.
Tentukan fungsi invers \(f^{-1}\) dari \(f\).
Verifikasi bahwa \(f^{-1}(f(x)) = x\) untuk setiap \(x\) dalam domain \(f\).

Pembahasan:

a. Tentukan domain dan range dari \(f\)

Domain:

Fungsi \(f(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\) terdefinisi untuk semua nilai \(x\) kecuali jika penyebut \(2x + 1 = 0\), yaitu ketika \(x = -\frac{1}{2}\).

Jadi, domain dari \(f\) adalah \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

Range:

Untuk menentukan range, kita perlu mencari nilai \(y\) sehingga terdapat \(x\) dalam domain dengan \(f(x) = y\).

\(y = \frac{3x - 2}{2x + 1}\)

\(y(2x + 1) = 3x - 2\)

\(2xy + y = 3x - 2\)

\(2xy - 3x = -y - 2\)

\(x(2y - 3) = -y - 2\)

\(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\)

Persamaan di atas memiliki solusi untuk \(x\) jika \(2y - 3 \neq 0\), yaitu jika \(y \neq \frac{3}{2}\).

Jadi, range dari \(f\) adalah \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

b. Buktikan bahwa \(f\) adalah fungsi bijektif

Bukti \(f\) injektif:

Misalkan \(f(x_1) = f(x_2)\) untuk suatu \(x_1, x_2 \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

\(\frac{3x_1 - 2}{2x_1 + 1} = \frac{3x_2 - 2}{2x_2 + 1}\)

\((3x_1 - 2)(2x_2 + 1) = (3x_2 - 2)(2x_1 + 1)\)

\(6x_1x_2 + 3x_1 - 4x_2 - 2 = 6x_1x_2 + 3x_2 - 4x_1 - 2\)

\(3x_1 - 4x_2 = 3x_2 - 4x_1\)

\(3x_1 + 4x_1 = 3x_2 + 4x_2\)

\(7x_1 = 7x_2\)

\(x_1 = x_2\)

Karena \(f(x_1) = f(x_2)\) mengimplikasikan \(x_1 = x_2\), maka \(f\) adalah fungsi injektif.

Bukti \(f\) surjektif:

Dari analisis range pada bagian (a), kita tahu bahwa range dari \(f\) adalah \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\). Kita perlu membuktikan bahwa untuk setiap \(y \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\), terdapat \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) sehingga \(f(x) = y\).

Dari perhitungan pada bagian (a), kita tahu bahwa untuk setiap \(y \neq \frac{3}{2}\), terdapat \(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\) sehingga \(f(x) = y\).

Kita perlu memeriksa bahwa \(x \neq -\frac{1}{2}\) untuk setiap \(y \neq \frac{3}{2}\).

\(x = -\frac{1}{2}\) jika dan hanya jika \(\frac{-y - 2}{2y - 3} = -\frac{1}{2}\)

\(-y - 2 = -\frac{1}{2}(2y - 3)\)

\(-y - 2 = -y + \frac{3}{2}\)

\(-2 = \frac{3}{2}\)

Ini adalah kontradiksi. Jadi, \(x \neq -\frac{1}{2}\) untuk setiap \(y \neq \frac{3}{2}\).

Karena untuk setiap \(y \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\), terdapat \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) sehingga \(f(x) = y\), maka \(f\) adalah fungsi surjektif dari \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) ke \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

Kesimpulan:

Karena \(f\) adalah fungsi injektif dan surjektif, maka \(f\) adalah fungsi bijektif dari \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) ke \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

c. Tentukan fungsi invers \(f^{-1}\) dari \(f\)

Untuk menentukan fungsi invers \(f^{-1}\), kita perlu menyelesaikan persamaan \(y = f(x)\) untuk \(x\) dalam bentuk \(x = f^{-1}(y)\).

\(y = \frac{3x - 2}{2x + 1}\)

\(y(2x + 1) = 3x - 2\)

\(2xy + y = 3x - 2\)

\(2xy - 3x = -y - 2\)

\(x(2y - 3) = -y - 2\)

\(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\) untuk \(y \neq \frac{3}{2}\)

Jadi, fungsi invers \(f^{-1}: \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) didefinisikan oleh \(f^{-1}(y) = \frac{-y - 2}{2y - 3}\).

d. Verifikasi bahwa \(f^{-1}(f(x)) = x\) untuk setiap \(x\) dalam domain \(f\)

Kita perlu memverifikasi bahwa \(f^{-1}(f(x)) = x\) untuk setiap \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

\(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) = \frac{-\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 2}{2\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 3}\)

Sederhanakan pembilang:

\(-\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 2 = \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} - 2 = \frac{-3x + 2}{2x + 1} - 2 = \frac{-3x + 2 - 2(2x + 1)}{2x + 1} = \frac{-3x + 2 - 4x - 2}{2x + 1} = \frac{-7x}{2x + 1}\)

Sederhanakan penyebut:

\(2\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 3 = \frac{2(3x - 2)}{2x + 1} - 3 = \frac{6x - 4}{2x + 1} - 3 = \frac{6x - 4 - 3(2x + 1)}{2x + 1} = \frac{6x - 4 - 6x - 3}{2x + 1} = \frac{-7}{2x + 1}\)

Jadi:

\(f^{-1}(f(x)) = \frac{\frac{-7x}{2x + 1}}{\frac{-7}{2x + 1}} = \frac{-7x}{-7} = x\)

Maka \(f^{-1}(f(x)) = x\) untuk setiap \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\), yang memverifikasi bahwa \(f^{-1}\) adalah invers dari \(f\).

Soal 4: Transformasi Geometri

Pertanyaan:

Misalkan \(P\) adalah sebuah segitiga dengan titik-titik \(A(1, 1)\), \(B(4, 1)\), dan \(C(2, 4)\).

Tentukan koordinat dari hasil refleksi \(P\) terhadap sumbu-\(x\). Sebut hasil refleksi ini \(P'\).
Tentukan koordinat dari hasil rotasi \(P\) sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Sebut hasil rotasi ini \(P''\).
Tentukan koordinat dari hasil translasi \(P\) dengan vektor \((2, -3)\). Sebut hasil translasi ini \(P'''\).
Tentukan komposisi transformasi yang dapat mengubah \(P\) menjadi \(P'''\), tetapi melalui rotasi dan refleksi (tanpa translasi langsung).

Pembahasan:

a. Refleksi \(P\) terhadap sumbu-\(x\)

Refleksi terhadap sumbu-\(x\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((x, -y)\).

Titik-titik dari segitiga \(P\) adalah:

\(A(1, 1)\)
\(B(4, 1)\)
\(C(2, 4)\)

Refleksi titik-titik ini terhadap sumbu-\(x\) menghasilkan:

\(A'(1, -1)\)
\(B'(4, -1)\)
\(C'(2, -4)\)

Jadi, segitiga \(P'\) memiliki titik-titik \(A'(1, -1)\), \(B'(4, -1)\), dan \(C'(2, -4)\).

b. Rotasi \(P\) sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal

Rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((-y, x)\).

Rotasi titik-titik dari segitiga \(P\) menghasilkan:

\(A''(-1, 1)\)
\(B''(-1, 4)\)
\(C''(-4, 2)\)

Jadi, segitiga \(P''\) memiliki titik-titik \(A''(-1, 1)\), \(B''(-1, 4)\), dan \(C''(-4, 2)\).

c. Translasi \(P\) dengan vektor \((2, -3)\)

Translasi dengan vektor \((2, -3)\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((x+2, y-3)\).

Translasi titik-titik dari segitiga \(P\) menghasilkan:

\(A'''(1+2, 1-3) = A'''(3, -2)\)
\(B'''(4+2, 1-3) = B'''(6, -2)\)
\(C'''(2+2, 4-3) = C'''(4, 1)\)

Jadi, segitiga \(P'''\) memiliki titik-titik \(A'''(3, -2)\), \(B'''(6, -2)\), dan \(C'''(4, 1)\).

d. Komposisi transformasi yang mengubah \(P\) menjadi \(P'''\) melalui rotasi dan refleksi

Kita perlu mencari komposisi transformasi rotasi dan refleksi yang mengubah \(P\) menjadi \(P'''\). Mari kita coba beberapa kombinasi:

Salah satu cara adalah dengan melakukan rotasi 270° (atau -90°) berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, diikuti dengan refleksi terhadap sumbu-\(y\).

Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((y, -x)\).

Rotasi titik-titik dari segitiga \(P\) menghasilkan:

\(A^*(1, 1) \to (1, -1)\)
\(B^*(4, 1) \to (1, -4)\)
\(C^*(2, 4) \to (4, -2)\)

Refleksi terhadap sumbu-\(y\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((-x, y)\).

Refleksi titik-titik setelah rotasi menghasilkan:

\(A^{**}(1, -1) \to (-1, -1)\)
\(B^{**}(1, -4) \to (-1, -4)\)
\(C^{**}(4, -2) \to (-4, -2)\)

Ini belum menghasilkan \(P'''\). Mari kita coba kombinasi lain.

Cara lain adalah dengan melakukan rotasi 180° terhadap titik asal, diikuti dengan translasi dengan vektor \((5, -3)\).

Rotasi 180° terhadap titik asal mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((-x, -y)\).

Rotasi titik-titik dari segitiga \(P\) menghasilkan:

\(A^*(-1, -1)\)
\(B^*(-4, -1)\)
\(C^*(-2, -4)\)

Translasi dengan vektor \((5, -3)\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((x+5, y-3)\).

Translasi titik-titik setelah rotasi menghasilkan:

\(A^{**}(-1+5, -1-3) = A^{**}(4, -4)\)
\(B^{**}(-4+5, -1-3) = B^{**}(1, -4)\)
\(C^{**}(-2+5, -4-3) = C^{**}(3, -7)\)

Ini masih belum menghasilkan \(P'''\).

Cara ketiga adalah dengan melakukan refleksi terhadap garis \(y = -x\), diikuti dengan translasi dengan vektor \((4, 3)\).

Refleksi terhadap garis \(y = -x\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((-y, -x)\).

Refleksi titik-titik dari segitiga \(P\) menghasilkan:

\(A^*(-1, -1)\)
\(B^*(-1, -4)\)
\(C^*(-4, -2)\)

Translasi dengan vektor \((4, 3)\) mengubah koordinat \((x, y)\) menjadi \((x+4, y+3)\).

Translasi titik-titik setelah refleksi menghasilkan:

\(A^{**}(-1+4, -1+3) = A^{**}(3, 2)\)
\(B^{**}(-1+4, -4+3) = B^{**}(3, -1)\)
\(C^{**}(-4+4, -2+3) = C^{**}(0, 1)\)

Ini masih belum menghasilkan \(P'''\).

Ternyata tidak ada kombinasi rotasi dan refleksi sederhana yang dapat mengubah \(P\) menjadi \(P'''\) tanpa menggunakan translasi. Ini karena translasi menggeser semua titik dengan jarak dan arah yang sama, sementara rotasi dan refleksi mengubah posisi titik-titik relatif terhadap pusat rotasi atau sumbu refleksi.

Untuk mengubah \(P\) menjadi \(P'''\), kita perlu menggunakan translasi atau komposisi transformasi yang lebih kompleks.

Case Studies and Practice Problems

Below are some case studies and practice problems to deepen your understanding of functions and transformations. Each problem is accompanied by a detailed solution.

Problem 1: Injective and Surjective Functions

Question:

Determine whether the following functions are injective, surjective, or bijective. Provide reasons for each answer.

\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined by \(f(n) = n^2\)
\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) defined by \(g(x) = x^3 - x\)
\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) defined by \(h(x) = e^x\)
\(k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) defined by \(k(x) = \frac{2x+1}{3x-2}\)

Solution:

a. \(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined by \(f(n) = n^2\)

Injective? No. For example, \(f(1) = 1\) and \(f(-1) = 1\), but \(1 \neq -1\). So, two different inputs yield the same output.
Surjective? No. Not every integer can be expressed as the square of another integer. For instance, there is no \(n \in \mathbb{Z}\) such that \(f(n) = -1\) or \(f(n) = 2\).
Bijective? No, since \(f\) is neither injective nor surjective.

b. \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) defined by \(g(x) = x^3 - x\)

Injective? We need to prove that if \(g(a) = g(b)\), then \(a = b\).
\(a^3 - a = b^3 - b\)
\(a^3 - b^3 = a - b\)
\((a-b)(a^2 + ab + b^2) = (a-b)\)
If \(a \neq b\), then \(a^2 + ab + b^2 = 1\). Since \(a^2 + ab + b^2 > 0\) for all \(a, b \in \mathbb{R}\), this equation has solutions. For example, if \(a = 0\) and \(b = 1\), then \(0 + 0 + 1 = 1\).
This means there are values \(a\) and \(b\) with \(a \neq b\) but \(g(a) = g(b)\). So, \(g\) is not injective.
Surjective? To prove that \(g\) is surjective, we need to show that for every \(y \in \mathbb{R}\), there exists \(x \in \mathbb{R}\) such that \(g(x) = y\).
We know that \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) and \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). Since \(g\) is a continuous function, by the intermediate value theorem, \(g\) takes all values between \(-\infty\) and \(\infty\). Therefore, \(g\) is a surjective function.
Bijective? No, because \(g\) is not injective even though it is surjective.

c. \(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) defined by \(h(x) = e^x\)

Injective? Yes. If \(h(a) = h(b)\), then \(e^a = e^b\). Taking the natural logarithm of both sides, we get \(a = b\). Therefore, \(h\) is an injective function.
Surjective? Yes. For every \(y \in \mathbb{R}^+\), we can find \(x \in \mathbb{R}\) such that \(h(x) = y\). We can take \(x = \ln(y)\). Therefore, \(h\) is a surjective function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}^+\).
Bijective? Yes, since \(h\) is both injective and surjective.

d. \(k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) defined by \(k(x) = \frac{2x+1}{3x-2}\)

Domain: Note that \(k(x)\) is undefined if \(3x - 2 = 0\), which occurs when \(x = \frac{2}{3}\). So, the actual domain is \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\).
Injective? Let's assume \(k(a) = k(b)\) for some \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\).
\(\frac{2a+1}{3a-2} = \frac{2b+1}{3b-2}\)
\((2a+1)(3b-2) = (2b+1)(3a-2)\)
\(6ab - 4a + 3b - 2 = 6ab - 4b + 3a - 2\)
\(-4a + 3b = -4b + 3a\)
\(3b - 3a = 4b - 4a\)
\(-b + a = 0\)
\(a = b\)
Therefore, \(k\) is an injective function.
Surjective? To prove that \(k\) is surjective, we need to show that for every \(y \in \mathbb{R}\), there exists \(x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}\) such that \(k(x) = y\).
\(\frac{2x+1}{3x-2} = y\)
\(2x+1 = y(3x-2)\)
\(2x+1 = 3xy - 2y\)
\(2x - 3xy = -1 - 2y\)
\(x(2 - 3y) = -1 - 2y\)
\(x = \frac{-1 - 2y}{2 - 3y}\)
The above equation has a solution for every \(y \in \mathbb{R}\) except \(y = \frac{2}{3}\). So, the range of \(k\) is \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Since the range is not equal to the codomain, \(k\) is not a surjective function.
Bijective? No, because \(k\) is not surjective even though it is injective.

Problem 2: Function Composition and Transformation

Question:

Let \(T_1\) be a translation transformation with vector \((3, 4)\) and \(R\) be a rotation transformation of 90° counterclockwise about the origin. Determine:

The formulas for transformations \(T_1\) and \(R\).
The result of the composition of transformations \(R \circ T_1\) (rotation followed by translation).
The result of the composition of transformations \(T_1 \circ R\) (translation followed by rotation).
Is \(R \circ T_1 = T_1 \circ R\)? If not, explain why the order of transformations is important.

Solution:

a. Formulas for transformations \(T_1\) and \(R\)

Translation transformation \(T_1\) with vector \((3, 4)\) can be written as:

\(T_1(x, y) = (x + 3, y + 4)\)

Rotation transformation \(R\) of 90° counterclockwise about the origin can be written as:

\(R(x, y) = (-y, x)\)

Note that a 90° counterclockwise rotation can be obtained using the rotation matrix \(\begin{pmatrix} \cos(90°) & -\sin(90°) \\ \sin(90°) & \cos(90°) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

b. Result of the composition of transformations \(R \circ T_1\) (rotation followed by translation)

The composition \(R \circ T_1\) means we first apply transformation \(T_1\), then apply transformation \(R\) to the result.

\(R \circ T_1(x, y) = R(T_1(x, y)) = R(x + 3, y + 4) = (-(y + 4), x + 3) = (-y - 4, x + 3)\)

c. Result of the composition of transformations \(T_1 \circ R\) (translation followed by rotation)

The composition \(T_1 \circ R\) means we first apply transformation \(R\), then apply transformation \(T_1\) to the result.

\(T_1 \circ R(x, y) = T_1(R(x, y)) = T_1(-y, x) = (-y + 3, x + 4)\)

d. Is \(R \circ T_1 = T_1 \circ R\)?

From the results in parts (b) and (c), we know that:

\(R \circ T_1(x, y) = (-y - 4, x + 3)\)

\(T_1 \circ R(x, y) = (-y + 3, x + 4)\)

Since \((-y - 4, x + 3) \neq (-y + 3, x + 4)\) for all \((x, y)\), we have \(R \circ T_1 \neq T_1 \circ R\).

The order of transformations is important because translations and rotations are generally not commutative. When we perform rotation first, points are rotated around the origin, then translated. Whereas when we perform translation first, points are moved, then rotated around the origin. The final result can be different because the initial points being rotated are not the same as the initial points being translated.

Problem 3: Bijective Functions and Inverse Functions

Question:

Given the function \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) defined by \(f(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\).

Determine the domain and range of \(f\).
Prove that \(f\) is a bijective function.
Find the inverse function \(f^{-1}\) of \(f\).
Verify that \(f^{-1}(f(x)) = x\) for every \(x\) in the domain of \(f\).

Solution:

a. Determine the domain and range of \(f\)

Domain:

The function \(f(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\) is defined for all values of \(x\) except when the denominator \(2x + 1 = 0\), which occurs when \(x = -\frac{1}{2}\).

Therefore, the domain of \(f\) is \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

Range:

To determine the range, we need to find the values of \(y\) such that there exists \(x\) in the domain with \(f(x) = y\).

\(y = \frac{3x - 2}{2x + 1}\)

\(y(2x + 1) = 3x - 2\)

\(2xy + y = 3x - 2\)

\(2xy - 3x = -y - 2\)

\(x(2y - 3) = -y - 2\)

\(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\) for \(y \neq \frac{3}{2}\)

The above equation has a solution for \(x\) if \(2y - 3 \neq 0\), which occurs when \(y \neq \frac{3}{2}\).

Therefore, the range of \(f\) is \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

b. Prove that \(f\) is a bijective function

Proof that \(f\) is injective:

Let's assume \(f(x_1) = f(x_2)\) for some \(x_1, x_2 \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

\(\frac{3x_1 - 2}{2x_1 + 1} = \frac{3x_2 - 2}{2x_2 + 1}\)

\((3x_1 - 2)(2x_2 + 1) = (3x_2 - 2)(2x_1 + 1)\)

\(6x_1x_2 + 3x_1 - 4x_2 - 2 = 6x_1x_2 + 3x_2 - 4x_1 - 2\)

\(3x_1 - 4x_2 = 3x_2 - 4x_1\)

\(3x_1 + 4x_1 = 3x_2 + 4x_2\)

\(7x_1 = 7x_2\)

\(x_1 = x_2\)

Since \(f(x_1) = f(x_2)\) implies \(x_1 = x_2\), the function \(f\) is injective.

Proof that \(f\) is surjective:

From the range analysis in part (a), we know that the range of \(f\) is \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\). We need to prove that for every \(y \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\), there exists \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) such that \(f(x) = y\).

From the calculation in part (a), we know that for every \(y \neq \frac{3}{2}\), there exists \(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\) such that \(f(x) = y\).

We need to check that \(x \neq -\frac{1}{2}\) for every \(y \neq \frac{3}{2}\).

\(x = -\frac{1}{2}\) if and only if \(\frac{-y - 2}{2y - 3} = -\frac{1}{2}\)

\(-y - 2 = -\frac{1}{2}(2y - 3)\)

\(-y - 2 = -y + \frac{3}{2}\)

\(-2 = \frac{3}{2}\)

This is a contradiction. So, \(x \neq -\frac{1}{2}\) for every \(y \neq \frac{3}{2}\).

Since for every \(y \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\), there exists \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) such that \(f(x) = y\), the function \(f\) is surjective from \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) to \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

Conclusion:

Since \(f\) is both injective and surjective, \(f\) is a bijective function from \(\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) to \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}\).

c. Find the inverse function \(f^{-1}\) of \(f\)

To find the inverse function \(f^{-1}\), we need to solve the equation \(y = f(x)\) for \(x\) in terms of \(y\).

\(y = \frac{3x - 2}{2x + 1}\)

\(y(2x + 1) = 3x - 2\)

\(2xy + y = 3x - 2\)

\(2xy - 3x = -y - 2\)

\(x(2y - 3) = -y - 2\)

\(x = \frac{-y - 2}{2y - 3}\) for \(y \neq \frac{3}{2}\)

Therefore, the inverse function \(f^{-1}: \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) is defined by \(f^{-1}(y) = \frac{-y - 2}{2y - 3}\).

d. Verify that \(f^{-1}(f(x)) = x\) for every \(x\) in the domain of \(f\)

We need to verify that \(f^{-1}(f(x)) = x\) for every \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\).

\(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) = \frac{-\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 2}{2\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 3}\)

Simplify the numerator:

\(-\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 2 = \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} - 2 = \frac{-3x + 2}{2x + 1} - 2 = \frac{-3x + 2 - 2(2x + 1)}{2x + 1} = \frac{-3x + 2 - 4x - 2}{2x + 1} = \frac{-7x}{2x + 1}\)

Simplify the denominator:

\(2\left(\frac{3x - 2}{2x + 1}\right) - 3 = \frac{2(3x - 2)}{2x + 1} - 3 = \frac{6x - 4}{2x + 1} - 3 = \frac{6x - 4 - 3(2x + 1)}{2x + 1} = \frac{6x - 4 - 6x - 3}{2x + 1} = \frac{-7}{2x + 1}\)

Therefore:

\(f^{-1}(f(x)) = \frac{\frac{-7x}{2x + 1}}{\frac{-7}{2x + 1}} = \frac{-7x}{-7} = x\)

So, \(f^{-1}(f(x)) = x\) for every \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\), which verifies that \(f^{-1}\) is indeed the inverse of \(f\).

Problem 4: Geometric Transformations

Question:

Let \(P\) be a triangle with vertices \(A(1, 1)\), \(B(4, 1)\), and \(C(2, 4)\).

Determine the coordinates of the reflection of \(P\) across the \(x\)-axis. Call this reflection \(P'\).
Determine the coordinates of the rotation of \(P\) by 90° counterclockwise about the origin. Call this rotation \(P''\).
Determine the coordinates of the translation of \(P\) by the vector \((2, -3)\). Call this translation \(P'''\).
Find a composition of transformations that can transform \(P\) into \(P'''\), but using rotation and reflection (without direct translation).

Solution:

a. Reflection of \(P\) across the \(x\)-axis

Reflection across the \(x\)-axis transforms coordinates \((x, y)\) to \((x, -y)\).

The vertices of triangle \(P\) are:

\(A(1, 1)\)
\(B(4, 1)\)
\(C(2, 4)\)

Reflecting these vertices across the \(x\)-axis gives:

\(A'(1, -1)\)
\(B'(4, -1)\)
\(C'(2, -4)\)

Therefore, triangle \(P'\) has vertices \(A'(1, -1)\), \(B'(4, -1)\), and \(C'(2, -4)\).

b. Rotation of \(P\) by 90° counterclockwise about the origin

Rotation by 90° counterclockwise about the origin transforms coordinates \((x, y)\) to \((-y, x)\).

Rotating the vertices of triangle \(P\) gives:

\(A''(-1, 1)\)
\(B''(-1, 4)\)
\(C''(-4, 2)\)

Therefore, triangle \(P''\) has vertices \(A''(-1, 1)\), \(B''(-1, 4)\), and \(C''(-4, 2)\).

c. Translation of \(P\) by the vector \((2, -3)\)

Translation by the vector \((2, -3)\) transforms coordinates \((x, y)\) to \((x+2, y-3)\).

Translating the vertices of triangle \(P\) gives:

\(A'''(1+2, 1-3) = A'''(3, -2)\)
\(B'''(4+2, 1-3) = B'''(6, -2)\)
\(C'''(2+2, 4-3) = C'''(4, 1)\)

Therefore, triangle \(P'''\) has vertices \(A'''(3, -2)\), \(B'''(6, -2)\), and \(C'''(4, 1)\).

d. Composition of transformations (rotation and reflection) to transform \(P\) into \(P'''\)

We need to find a composition of rotation and reflection transformations that transforms \(P\) into \(P'''\). Let's try some combinations:

One approach is to perform a 270° (or -90°) counterclockwise rotation about the origin, followed by a reflection across the \(y\)-axis.

Rotation by 270° counterclockwise about the origin transforms coordinates \((x, y)\) to \((y, -x)\).

Rotating the vertices of triangle \(P\) gives:

\(A^*(1, 1) \to (1, -1)\)
\(B^*(4, 1) \to (1, -4)\)
\(C^*(2, 4) \to (4, -2)\)

Reflection across the \(y\)-axis transforms coordinates \((x, y)\) to \((-x, y)\).

Reflecting the vertices after rotation gives:

\(A^{**}(1, -1) \to (-1, -1)\)
\(B^{**}(1, -4) \to (-1, -4)\)
\(C^{**}(4, -2) \to (-4, -2)\)

This does not yield \(P'''\). Let's try another combination.

Another approach is to perform a 180° rotation about the origin, followed by a translation by the vector \((5, -3)\).

Rotation by 180° about the origin transforms coordinates \((x, y)\) to \((-x, -y)\).

Rotating the vertices of triangle \(P\) gives:

\(A^*(-1, -1)\)
\(B^*(-4, -1)\)
\(C^*(-2, -4)\)

Translation by the vector \((5, -3)\) transforms coordinates \((x, y)\) to \((x+5, y-3)\).

Translating the vertices after rotation gives:

\(A^{**}(-1+5, -1-3) = A^{**}(4, -4)\)
\(B^{**}(-4+5, -1-3) = B^{**}(1, -4)\)
\(C^{**}(-2+5, -4-3) = C^{**}(3, -7)\)

This still does not yield \(P'''\).

A third approach is to reflect across the line \(y = -x\), followed by a translation by the vector \((4, 3)\).

Reflection across the line \(y = -x\) transforms coordinates \((x, y)\) to \((-y, -x)\).

Reflecting the vertices of triangle \(P\) gives:

\(A^*(-1, -1)\)
\(B^*(-1, -4)\)
\(C^*(-4, -2)\)

Translation by the vector \((4, 3)\) transforms coordinates \((x, y)\) to \((x+4, y+3)\).

Translating the vertices after reflection gives:

\(A^{**}(-1+4, -1+3) = A^{**}(3, 2)\)
\(B^{**}(-1+4, -4+3) = B^{**}(3, -1)\)
\(C^{**}(-4+4, -2+3) = C^{**}(0, 1)\)

This still does not yield \(P'''\).

It turns out that there is no simple combination of rotation and reflection that can transform \(P\) into \(P'''\) without using translation. This is because translation moves all points by the same distance and direction, while rotation and reflection change the positions of points relative to the center of rotation or the axis of reflection.

To transform \(P\) into \(P'''\), we need to use translation or a more complex composition of transformations.