Isometri

Pengertian Isometri

Bayangkan jika Anda menggambar sebuah bentuk di atas kertas lalu memindahkannya ke tempat lain tanpa mengubah ukurannya - itulah konsep dasar isometri!

Isometri adalah transformasi geometri yang mempertahankan jarak antara titik-titik pada bidang atau ruang. Kata "isometri" berasal dari bahasa Yunani, dengan "iso" yang berarti "sama" dan "metri" yang berarti "ukuran".

Contoh Sederhana:

Perhatikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 8 cm.

Jika kita melakukan transformasi isometri, misalnya menggeser segitiga tersebut, maka segitiga hasil A'B'C' akan tetap memiliki panjang sisi yang sama: A'B' = 5 cm, B'C' = 7 cm, dan A'C' = 8 cm.

Dalam kehidupan sehari-hari, isometri dapat diibaratkan seperti:

Memindahkan kursi tanpa mengubah bentuknya
Membalikkan kartu tanpa meregangkannya
Memutar piring di atas meja tanpa mengubah ukurannya

Prinsip utama: jarak antar titik selalu tetap!

Contoh Perhitungan: Mengapa Isometri Mempertahankan Jarak?

Misalkan kita memiliki dua titik P(2,3) dan Q(5,7) pada bidang koordinat.

Jarak antara P dan Q adalah:

\[d(P,Q) = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Sekarang, jika kita melakukan translasi dengan vektor (1,2), maka:

P' = P + (1,2) = (2,3) + (1,2) = (3,5)

Q' = Q + (1,2) = (5,7) + (1,2) = (6,9)

Jarak antara P' dan Q' adalah:

\[d(P',Q') = \sqrt{(6-3)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Perhatikan bahwa d(P,Q) = d(P',Q') = 5, membuktikan bahwa translasi adalah isometri!

Secara formal, fungsi \(f: X \rightarrow Y\) disebut isometri jika untuk setiap pasangan titik \(p\) dan \(q\) pada ruang metrik \(X\), berlaku:

\[d_Y(f(p), f(q)) = d_X(p, q)\]

dimana \(d_X\) dan \(d_Y\) adalah fungsi jarak pada ruang \(X\) dan \(Y\).

Analogi Sederhana

Jika Anda mengukur jarak antara dua titik sebelum transformasi, dan kemudian mengukur jarak antara hasil transformasi dari kedua titik tersebut, jaraknya akan selalu sama.

Contoh Nyata: Foto Kopi

Ketika Anda memfotokopi sebuah gambar dengan skala 100% (tanpa diperbesar atau diperkecil), maka:

Jika pada gambar asli, jarak antara mata kiri dan kanan adalah 5 cm
Maka pada hasil fotokopi, jarak antara mata kiri dan kanan juga tetap 5 cm

Ini adalah contoh isometri dalam kehidupan sehari-hari, karena semua jarak dipertahankan!

Sifat-sifat Isometri

Isometri bersifat bijektif (satu-satu dan onto)
Isometri mempertahankan bentuk dan ukuran objek geometris
Komposisi dari dua isometri juga merupakan isometri
Invers dari isometri juga merupakan isometri

Contoh Penerapan: Komposisi Isometri

Misalkan kita memiliki isometri rotasi R (memutar 90° searah jarum jam) dan translasi T (menggeser (2,3)).

Jika kita terapkan R dan kemudian T pada titik P(1,1), maka:

R(P) = R(1,1) = (1,-1) (Rotasi 90° searah jarum jam mengubah (x,y) menjadi (y,-x))

T(R(P)) = T(1,-1) = (1,-1) + (2,3) = (3,2)

Jika kita hitung jarak dari titik asal ke P dan jarak dari titik asal ke T(R(P)):

\[d(O,P) = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\] \[d(O,T(R(P))) = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\]

Perhatikan bahwa jarak berubah, tetapi ini karena kita mengukur dari titik asal yang bukan bagian dari transformasi.

Jika kita ambil dua titik P(1,1) dan Q(2,3), lalu bandingkan jarak mereka dengan jarak hasil transformasinya:

\[d(P,Q) = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\] \[d(T(R(P)),T(R(Q))) = \sqrt{(5-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

Jarak tetap sama! Ini membuktikan bahwa komposisi dua isometri juga merupakan isometri.

Isometri dalam Ruang Euklides

Dalam ruang Euklides, isometri dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan elemen yang dipertahankan (titik tetap, garis tetap, bidang tetap, dll).

Jika kita bekerja pada ruang Euklides \(\mathbb{R}^n\), isometri dapat dinyatakan dalam bentuk:

\[f(x) = Ax + b\]

dimana \(A\) adalah matriks ortogonal \(n \times n\) (\(A^T A = I\)) dan \(b\) adalah vektor translasi.

Contoh Bentuk Matriks: Rotasi dalam R²

Untuk rotasi sebesar θ di bidang:

\[A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\]

Misalnya, untuk rotasi 30°:

\[A = \begin{pmatrix} \cos 30° & -\sin 30° \\ \sin 30° & \cos 30° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\]

Jika kita aplikasikan pada titik (1,0):

\[f(1,0) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \approx (0.866, 0.5)\]

Contoh Isometri

1. Translasi

Translasi adalah perpindahan semua titik dengan jarak dan arah yang sama.

\[T_v(p) = p + v\]

dimana \(v\) adalah vektor translasi.

Kehidupan Sehari-hari:

Menggeser meja ke sudut ruangan tanpa memutar atau mengubah bentuknya.

Contoh Perhitungan:

Misalkan segitiga dengan titik sudut di A(1,1), B(3,2), dan C(2,4).

Setelah translasi dengan vektor v = (2,3), koordinat titik sudut menjadi:

A' = A + v = (1,1) + (2,3) = (3,4)
B' = B + v = (3,2) + (2,3) = (5,5)
C' = C + v = (2,4) + (2,3) = (4,7)

Jarak AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5 ≈ 2.24

Jarak A'B' = √((5-3)² + (5-4)²) = √5 ≈ 2.24

Jarak dipertahankan!

2. Rotasi

Rotasi adalah perputaran semua titik sejauh sudut tertentu terhadap suatu titik pusat.

\[R_{\theta}(x,y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\]

Kehidupan Sehari-hari:

Memutar jarum jam atau roda yang berputar pada porosnya.

Contoh Perhitungan:

Misalkan titik P(3,4) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Menggunakan rumus rotasi:

x' = x·cos(90°) - y·sin(90°) = 3·0 - 4·1 = -4
y' = x·sin(90°) + y·cos(90°) = 3·1 + 4·0 = 3

Jadi, P' = (-4,3)

Jarak OP = √(3² + 4²) = 5

Jarak OP' = √((-4)² + 3²) = 5

Rotasi mempertahankan jarak dari pusat rotasi!

3. Refleksi

Refleksi adalah pencerminan semua titik terhadap suatu garis atau bidang.

Refleksi terhadap sumbu-x:

\[R_x(x,y) = (x, -y)\]

Kehidupan Sehari-hari:

Bayangan Anda di cermin adalah refleksi dari tubuh Anda.

Contoh Perhitungan:

Misalkan titik P(3,2) direfleksikan terhadap sumbu y.

Refleksi terhadap sumbu y mengubah (x,y) menjadi (-x,y):

P' = (-3,2)

Sekarang, buat segitiga dengan titik A(1,1), B(3,2), dan C(2,4).

Setelah direfleksikan terhadap sumbu y:

A' = (-1,1)
B' = (-3,2)
C' = (-2,4)

Jarak AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5 ≈ 2.24

Jarak A'B' = √((-3-(-1))² + (2-1)²) = √5 ≈ 2.24

Refleksi mempertahankan jarak antara titik!

4. Glide Reflection

Glide reflection adalah kombinasi dari refleksi dan translasi sejajar dengan sumbu refleksi.

\[G_{v,l}(p) = T_v(R_l(p))\]

dimana \(R_l\) adalah refleksi terhadap garis \(l\) dan \(T_v\) adalah translasi sejajar dengan \(l\).

Kehidupan Sehari-hari:

Jejak kaki Anda di pasir saat berjalan di pantai (refleksi kaki kiri dan kanan, dengan translasi ke depan).

Contoh Perhitungan:

Misalkan kita punya titik P(3,2) dan ingin melakukan glide reflection:

Pertama refleksikan terhadap sumbu x: P₁ = (3,-2)
Lalu translasikan sejajar sumbu x dengan vektor (4,0): P' = (7,-2)

Mari buktikan bahwa transformasi ini mempertahankan jarak!

Ambil titik lain Q(5,4). Setelah transformasi yang sama:

Q₁ = (5,-4)
Q' = (9,-4)

Jarak PQ = √((5-3)² + (4-2)²) = √8 ≈ 2.83

Jarak P'Q' = √((9-7)² + ((-4)-(-2))²) = √8 ≈ 2.83

Glide reflection juga mempertahankan jarak!

Teorema Klasifikasi Isometri

Teorema klasifikasi menyatakan bahwa setiap isometri pada bidang Euklides (R²) dapat diklasifikasikan sebagai salah satu dari empat jenis di atas: translasi, rotasi, refleksi, atau glide reflection.

Contoh Komposisi: Kombinasi Rotasi dan Refleksi

Misalkan kita memiliki titik P(3,4). Kita akan:

Rotasi 90° berlawanan jarum jam: P₁ = (-4,3)
Refleksi terhadap sumbu y: P' = (4,3)

Ternyata, hasil akhirnya sama dengan refleksi terhadap garis y = x!

Refleksi langsung terhadap garis y = x mengubah P(3,4) → P'(4,3)

Ini menunjukkan bahwa berbagai kombinasi isometri dapat menghasilkan isometri lain yang lebih sederhana!

Dalam Ruang Euklides Dimensi-n

Secara umum, setiap isometri dalam ruang Euklides \(\mathbb{R}^n\) dapat dinyatakan sebagai:

\[f(x) = Qx + b\]

dimana \(Q\) adalah matriks ortogonal dengan \(\det(Q) = \pm 1\), dan \(b\) adalah vektor translasi.

Jika \(\det(Q) = 1\), maka \(f\) adalah isometri langsung (direct isometry / proper isometry)
Jika \(\det(Q) = -1\), maka \(f\) adalah isometri tidak langsung (indirect isometry / improper isometry)

Contoh Nyata:

Dalam ruang 3D:

Isometri langsung: rotasi, translasi, helical motion (kombinasi rotasi dan translasi)
Isometri tidak langsung: refleksi terhadap bidang, glide reflection, rotary reflection
Contoh aplikasi: dalam kristalografi, isometri 3D digunakan untuk mendeskripsikan dan mengklasifikasikan 230 grup ruang kristal yang berbeda

Contoh Komparatif: Transformasi yang Bukan Isometri

Untuk memahami isometri lebih baik, perhatikan transformasi yang BUKAN isometri:

Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan)

f(x,y) = (2x, 2y) memperbesar jarak 2 kali

Jarak AB = 5 → Jarak A'B' = 10 (berubah!)

Shear (Geser)

f(x,y) = (x + y, y) mengubah sudut

Sudut 90° menjadi miring, jarak berubah

Implikasi Isometri

1. Grup Isometri

Himpunan semua isometri pada ruang metrik membentuk grup dengan operasi komposisi. Hal ini memiliki implikasi penting dalam teori grup dan aljabar abstrak.

\[Isom(X) = \{f: X \rightarrow X \mid d(f(p), f(q)) = d(p, q) \text{ untuk semua } p, q \in X\}\]

Struktur grup ini memungkinkan analisis geometri melalui pendekatan aljabar.

Contoh Praktis: Grup Isometri Segitiga

Segitiga sama sisi memiliki 6 isometri yang membentuk grup D₃ (grup dihedral):

Identitas (tidak melakukan apa-apa)
Rotasi 120° searah jarum jam
Rotasi 240° searah jarum jam
Refleksi terhadap sumbu melalui sudut A
Refleksi terhadap sumbu melalui sudut B
Refleksi terhadap sumbu melalui sudut C

Ini dapat direpresentasikan dengan tabel grup. Misalnya, rotasi 120° diikuti refleksi terhadap sumbu A menghasilkan refleksi terhadap sumbu C.

Aplikasi: Pola simetri dalam desain arsitektur sering menggunakan prinsip grup isometri.

2. Teorema Titik Tetap Banach

Isometri berperan penting dalam pemahaman tentang teorema titik tetap, yang memiliki implikasi dalam analisis fungsional dan persamaan diferensial.

Jika isometri \(f: X \rightarrow X\) pada ruang metrik lengkap \(X\) memiliki titik tetap (yaitu \(f(p) = p\) untuk suatu \(p \in X\)), maka kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika.

Contoh Konsep: Titik Tetap dalam Rotasi

Dalam rotasi 2D dengan pusat O:

Titik O sendiri adalah titik tetap (tidak bergerak)
Semua titik lainnya bergerak pada lingkaran dengan pusat O

Dalam bidang kompleks C, rotasi θ dapat dinyatakan sebagai perkalian dengan e^(iθ):

\[f(z) = e^{i\theta} \cdot z\]

Persamaan titik tetap: f(z) = z

Sehingga e^(iθ)·z = z

(e^(iθ) - 1)·z = 0

Solusinya: z = 0 (titik asal) atau e^(iθ) = 1 (θ = 0, 2π, 4π, ...)

Aplikasi: Dalam fisika rotasi, titik tetap menjadi poros rotasi. Dalam teknik mesin, identifikasi titik tetap penting dalam desain mekanisme berputar.

3. Geometri Diferensial

Dalam geometri diferensial, isometri antara dua permukaan Riemannian mempertahankan panjang kurva dan sudut antara vektor tangensial.

Jika \(f: M \rightarrow N\) adalah isometri antara manifold Riemannian, maka tensor kelengkungan (curvature tensor) dipertahankan, yang berarti \(M\) dan \(N\) memiliki geometri intrinsik yang sama.

Contoh Praktis: Peta Dunia

Permukaan bumi (hampir berbentuk bola) tidak dapat dipetakan ke bidang datar dengan sempurna mempertahankan jarak (isometri). Inilah mengapa semua proyeksi peta dunia memiliki distorsi:

Proyeksi Mercator: mempertahankan sudut (conformal) tetapi mendistorsi area
Proyeksi Peters: mempertahankan area (equal-area) tetapi mendistorsi sudut
Tidak ada proyeksi yang bisa mempertahankan jarak sepenuhnya

Teorema Egregium Gauss: kelengkungan Gauss (Gaussian curvature) adalah invariant isometri.

Misalnya:

Bola memiliki kelengkungan Gauss positif konstan
Bidang datar memiliki kelengkungan Gauss nol
Karena kelengkungan berbeda, tidak mungkin ada isometri antara keduanya

Aplikasi: Dalam navigasi GPS, pemahaman tentang distorsi geometri peta penting untuk perhitungan jarak yang akurat.

4. Kristalografi dan Grup Wallpaper

Isometri bidang yang mempertahankan pola periodik membentuk grup kristalografi bidang, yang terdiri dari 17 grup wallpaper berbeda.

Hasil ini memiliki aplikasi penting dalam kristalografi, desain, dan seni.

Contoh Grup Wallpaper: p4m

Grup p4m adalah salah satu dari 17 grup wallpaper, memiliki:

Rotasi 90° (order 4)
Refleksi terhadap sumbu horizontal dan vertikal
Refleksi terhadap diagonal
Translasi pada grid persegi

Contoh nyata: Pola ubin lantai kamar mandi yang tersusun dari ubin persegi berwarna hitam-putih membentuk pola "papan catur".

Dalam kristal 3D, terdapat 230 grup ruang yang mengklasifikasikan semua kemungkinan susunan atom dalam kristal.

Aplikasi: Pemahaman tentang grup wallpaper membantu dalam analisis struktur kristal, pengembangan material baru, dan desain tekstil dengan pola berulang.

5. Fisika dan Hukum Kekekalan

Dalam fisika, isometri ruang-waktu seperti translasi temporal, translasi spasial, dan rotasi menghasilkan hukum-hukum kekekalan penting (Teorema Noether):

Invariansi terhadap translasi waktu → Kekekalan energi
Invariansi terhadap translasi spasial → Kekekalan momentum linear
Invariansi terhadap rotasi → Kekekalan momentum angular

Contoh Konkret: Kekekalan Momentum Angular

Ketika seorang penari balet berputar:

Saat lengan direntangkan, momen inersia besar, kecepatan rotasi lambat
Ketika lengan dirapatkan ke tubuh, momen inersia kecil, kecepatan rotasi meningkat

Momentum angular (L = Iω) tetap konstan karena rotasi adalah isometri ruang!

Dalam teori relativitas, isometri ruang-waktu Minkowski adalah transformasi Lorentz, yang mempertahankan interval ruang-waktu:

\[ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\]

Hukum kekekalan muatan listrik juga berasal dari invariansi terhadap transformasi gauge, yang merupakan isometri dalam ruang fase!

Aplikasi: Prinsip-prinsip ini digunakan dalam desain mesin, perancangan satelit, dan prediksi perilaku sistem mekanis kompleks.

Isometri dalam Teori Grafik dan Jaringan

Dalam teori grafik, isometri antara dua grafik G dan H adalah pemetaan bijektif yang mempertahankan jarak terpendek antara vertex.

Contoh aplikasi:

Analisis jaringan sosial: mengidentifikasi struktur komunitas yang serupa
Jaringan komputer: mengoptimalkan topologi jaringan
Bioinformatika: membandingkan struktur protein

Misalnya, dalam analisis protein, dua protein dengan struktur isometrik kemungkinan memiliki fungsi serupa meskipun memiliki urutan asam amino berbeda.

Simulasi Isometri

Gunakan simulasi interaktif berikut untuk mengeksplorasi berbagai jenis isometri. Pilih jenis transformasi, atur parameter, dan lihat hasilnya pada bidang.

Contoh Siap Pakai:

Bagaimana Menggunakan Simulasi Ini:

Pilih jenis transformasi isometri (translasi, rotasi, refleksi, atau glide reflection)
Atur parameter transformasi menggunakan slider dan dropdown
Perhatikan bagaimana bentuk segitiga berubah posisi namun tetap mempertahankan ukurannya
Bandingkan jarak antara titik-titik pada bentuk asli dan hasil transformasi
Gunakan tombol "Reset Simulasi" untuk kembali ke posisi awal

Dengan simulasi ini, Anda dapat mengeksplorasi bagaimana berbagai isometri mempertahankan jarak dan mengubah posisi objek.

Apa yang Anda Lihat:

Garis koordinat yang disilangkan pada canvas adalah sistem koordinat Kartesius.

Segitiga berwarna hijau gelap adalah bentuk asli, sedangkan segitiga berwarna hijau dengan garis putus-putus adalah hasil transformasi.

Perhatikan bahwa ukuran dan bentuk segitiga tetap sama, hanya posisinya yang berubah - ini menunjukkan sifat dasar isometri!

Jenis Transformasi:

Translasi adalah perpindahan semua titik dengan jarak dan arah yang sama, tanpa perubahan bentuk atau ukuran.

Vektor Translasi (x, y):

x: 50 y: 0

Catatan: Menggeser slider x menggerakkan objek secara horizontal, slider y menggerakkan objek secara vertikal.

Pembuktian Isometri:

Untuk titik A dan B pada segitiga asli, jarak AB = -

Setelah transformasi, jarak A'B' = -

Kesimpulan: Gerakkan slider untuk melihat bukti isometri

Aplikasi Nyata:

Translasi dapat Anda lihat dalam kehidupan sehari-hari seperti: menggeser kursi di ruangan, menggeser gambar di layar komputer, atau pergerakan lift ke atas dan bawah.

Translasi dalam Seni:

Pola dinding batik tradisional sering menggunakan translasi untuk mengulang motif dalam pola reguler. Desainer menggeser motif dasar secara horizontal dan vertikal untuk mengisi seluruh permukaan.

Rotasi dalam Arsitektur:

Struktur bangunan dengan pola radial, seperti dome masjid atau katedral dengan jendela rosette, memanfaatkan rotasi untuk menciptakan simetri rotasional yang indah dan struktur yang kuat.

Refleksi dalam Desain:

Logo perusahaan sering menggunakan refleksi untuk menciptakan simetri bilateral. Bayangkan logo yang sama persis di sisi kiri dan kanan, seperti logo Airbnb atau Yamaha yang memiliki simetri refleksi.

Glide Reflection dalam Alam:

DNA memiliki struktur double helix yang dapat dimodelkan dengan glide reflection. Jejak kaki manusia di pantai juga menunjukkan pola glide reflection, dengan kaki kiri dan kanan direfleksikan dan ditranslasikan.