Geometri Euclid: Kongruensi vs Kesebangunan

Memahami perbedaan antara bangun yang kongruen dan sebangun

Postulat Geometri Euclid

Geometri Euclid adalah sistem matematika yang dikembangkan oleh Euclid, seorang matematikawan Yunani kuno yang hidup sekitar tahun 300 SM. Sistem ini didasarkan pada serangkaian postulat (aksioma) dan teorema yang diturunkan dari postulat tersebut.

Postulat Euclid yang Mendasar:

  1. Melalui dua titik berbeda, dapat dibuat tepat satu garis lurus.
  2. Segmen garis dapat diperpanjang menjadi garis lurus.
  3. Dari suatu titik, dapat digambar sebuah lingkaran dengan jari-jari tertentu.
  4. Semua sudut siku-siku sama dengan yang lainnya.
  5. Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam pada sisi yang sama kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut akan berpotongan pada sisi tersebut jika diperpanjang.

Dalam studi geometri, kongruensi dan kesebangunan adalah dua konsep fundamental yang memiliki kemiripan tetapi juga perbedaan mendasar. Keduanya merupakan aplikasi dari postulat-postulat Euclid.

Kongruensi (Kekongruenan)

Dua bangun dikatakan kongruen jika mereka memiliki ukuran dan bentuk yang sama persis. Semua sisi dan sudut yang bersesuaian sama besar.

Kesebangunan

Dua bangun dikatakan sebangun jika mereka memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya bisa berbeda. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Kongruensi dalam Geometri Euclid

Kongruensi adalah konsep dalam geometri Euclid yang menunjukkan bahwa dua bangun geometri memiliki bentuk dan ukuran yang sama persis.

Syarat Kongruensi:

  • Semua sisi yang bersesuaian sama panjang
  • Semua sudut yang bersesuaian sama besar
  • Dua bangun kongruen dapat saling menempati (superimpose)

Postulat Kongruensi Segitiga:

  • SSS (Sisi-Sisi-Sisi): Jika tiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan tiga sisi segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.
  • SAS (Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi dan sudut yang diapitnya pada segitiga pertama sama dengan dua sisi dan sudut yang diapitnya pada segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.
  • ASA (Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut dan sisi yang terletak di antara kedua sudut pada segitiga pertama sama dengan dua sudut dan sisi yang terletak di antara kedua sudut pada segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.
  • AAS (Sudut-Sudut-Sisi): Jika dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara kedua sudut pada segitiga pertama sama dengan dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara kedua sudut pada segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.

Dalam geometri Euclid, kongruensi dinotasikan dengan simbol "≅".

Catatan: Saat dirotasi, bangun yang kongruen tetap memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Semua sisi dan sudut yang bersesuaian tetap sama besar.

Kesebangunan dalam Geometri Euclid

Kesebangunan adalah konsep dalam geometri Euclid yang menunjukkan bahwa dua bangun geometri memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya dapat berbeda.

Syarat Kesebangunan:

  • Semua sudut yang bersesuaian sama besar
  • Semua sisi yang bersesuaian sebanding (memiliki rasio yang sama)
  • Rasio kesebangunan adalah rasio panjang sisi-sisi yang bersesuaian

Postulat Kesebangunan Segitiga:

  • AA (Sudut-Sudut): Jika dua sudut segitiga pertama sama besar dengan dua sudut segitiga kedua, maka kedua segitiga sebangun.
  • SAS (Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi segitiga pertama sebanding dengan dua sisi segitiga kedua, dan sudut yang diapit keduanya sama besar, maka kedua segitiga sebangun.
  • SSS (Sisi-Sisi-Sisi): Jika tiga sisi segitiga pertama sebanding dengan tiga sisi segitiga kedua, maka kedua segitiga sebangun.

Dalam geometri Euclid, kesebangunan dinotasikan dengan simbol "~".

Catatan: Saat diubah skalanya, bangun yang sebangun tetap memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Semua sudut yang bersesuaian tetap sama besar, dan semua sisi yang bersesuaian sebanding (memiliki rasio yang sama).

Perbandingan Kongruensi dan Kesebangunan

Kongruensi

  • Bentuk dan ukuran sama persis
  • Semua sisi yang bersesuaian sama panjang
  • Semua sudut yang bersesuaian sama besar
  • Dapat ditranslasikan, dirotasikan, atau direfleksikan tanpa mengubah ukuran
  • Rasio sisi-sisi yang bersesuaian = 1:1
  • Rasio luas = 1:1
  • Notasi: ≅

Kesebangunan

  • Bentuk sama, tetapi ukuran dapat berbeda
  • Semua sisi yang bersesuaian sebanding (memiliki rasio yang sama)
  • Semua sudut yang bersesuaian sama besar
  • Dapat dilakukan penskalaan untuk mengubah ukuran
  • Rasio sisi-sisi yang bersesuaian = k:1 (dengan k adalah faktor skala)
  • Rasio luas = k²:1
  • Notasi: ~

Kesimpulan Utama:

  • Semua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi tidak semua bangun yang sebangun adalah kongruen.
  • Kongruensi adalah kasus khusus dari kesebangunan dengan faktor skala = 1.
  • Kedua konsep ini merupakan aplikasi dari postulat-postulat Geometri Euclid.

Contoh dalam Kehidupan Sehari-hari:

  • Kongruensi: Ubin di lantai, kertas dengan ukuran yang sama, bagian-bagian identik dari mesin.
  • Kesebangunan: Foto yang diperbesar/diperkecil, model miniatur bangunan, peta dengan skala tertentu.