David Hilbert memformalisasi postulat Geometri Euclid menjadi sistem aksioma yang lebih ketat dan lengkap.
Aksioma Hilbert membentuk dasar untuk geometri Euclid modern dan dibagi menjadi lima kelompok utama.
Aplikasi ini memungkinkan Anda menjelajahi kelompok aksioma Hilbert dengan visualisasi interaktif.
Aksioma Insidensi
Aksioma insidensi menjelaskan hubungan antara titik dan garis:
Untuk setiap dua titik yang berbeda, terdapat tepat satu garis yang melewati keduanya.
Setiap garis memiliki setidaknya dua titik.
Terdapat setidaknya tiga titik yang tidak terletak pada satu garis.
Simulasi: Garis Unik Melalui Dua Titik
Klik untuk membuat dua titik. Garis unik akan terbentuk melalui kedua titik tersebut.
Aksioma Urutan
Aksioma urutan menjelaskan cara titik-titik diurutkan pada garis:
Jika titik B terletak di antara titik A dan C, maka A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada satu garis, dan B juga terletak di antara C dan A.
Untuk dua titik A dan C yang berbeda, terdapat setidaknya satu titik B yang terletak pada garis AC sehingga B terletak di antara A dan C.
Dari tiga titik pada suatu garis, hanya satu yang terletak di antara dua lainnya.
Aksioma Pasch: Jika garis melewati segitiga tetapi tidak melewati titik sudutnya, maka garis tersebut harus memotong sisi segitiga lainnya.
Simulasi: Titik Di Antara Dua Titik
Klik untuk menempatkan titik A dan C, kemudian geser slider untuk melihat titik B di antara keduanya.
Aksioma Kekongruenan
Aksioma kekongruenan mendefinisikan pengukuran jarak dan sudut:
Segmen garis kongruen dengan dirinya sendiri.
Jika segmen garis AB kongruen dengan segmen garis A'B', dan segmen garis AB kongruen dengan segmen garis A"B", maka segmen garis A'B' kongruen dengan segmen garis A"B".
Jika titik B terletak di antara titik A dan C, dan titik B' terletak di antara titik A' dan C', jika AB kongruen dengan A'B' dan BC kongruen dengan B'C', maka AC kongruen dengan A'C'.
Dua sudut kongruen jika mereka dapat ditempatkan satu sama lain dengan persis.
Teorema SAS (side-angle-side): Dua segitiga kongruen jika dua sisi dan sudut yang terkandung kongruen.
Simulasi: Segmen Garis Kongruen
Klik untuk membuat segmen garis pertama, kemudian klik lagi untuk membuat segmen kongruen kedua.
Aksioma Kesejajaran
Aksioma kesejajaran adalah versi Hilbert dari postulat kelima Euclid:
Dalam sebuah bidang, diberikan sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut, terdapat dengan tepat satu garis yang melewati titik tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.
Aksioma ini membedakan geometri Euclid dari geometri non-Euclid seperti geometri hiperbolik dan eliptis.
Simulasi: Garis Sejajar
Klik untuk meletakkan garis, kemudian klik lagi untuk meletakkan titik. Garis sejajar unik akan dibuat melalui titik tersebut.