Refleksi Geser

Konsep Dasar Refleksi Geser

Definisi

Refleksi Geser (Glide Reflection) adalah transformasi geometri yang merupakan komposisi dari dua transformasi berturut-turut:

  1. Refleksi terhadap suatu garis (sumbu refleksi)
  2. Translasi (pergeseran) sepanjang garis yang sama

Notasi Matematika:

$$G = T_{\vec{v}} \circ R_l$$

dimana $G$ = refleksi geser, $T_{\vec{v}}$ = translasi dengan vektor $\vec{v}$, $R_l$ = refleksi terhadap garis $l$

Karakteristik Penting

  • Vektor translasi sejajar dengan sumbu refleksi
  • Isometri: mempertahankan jarak dan sudut
  • Mengubah orientasi objek (indirect isometry)
  • Tidak memiliki titik tetap

Refleksi Geser vs Komposisi Transformasi Umum

Proses Komposisi

Langkah 1: Refleksi

Diberikan titik $P(x, y)$ dan garis refleksi $l$

$$P' = R_l(P)$$

Langkah 2: Translasi

Translasi hasil refleksi dengan vektor $\vec{v} = (a, b)$ yang sejajar garis $l$

$$P'' = T_{\vec{v}}(P') = P' + \vec{v}$$

Formula Umum

Untuk refleksi terhadap sumbu-x diikuti translasi $(a, 0)$:

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + a \\ -y \end{pmatrix}$$

Definisi Tepat Refleksi Geser

✅ Refleksi Geser yang Benar

Vektor translasi HARUS sejajar dengan sumbu refleksi

Ini adalah syarat wajib dalam definisi matematika refleksi geser

⚠️ Bukan Refleksi Geser

Jika vektor translasi tidak sejajar dengan sumbu refleksi

Maka itu adalah "komposisi transformasi umum", bukan refleksi geser

Sifat Komutativitas:

Untuk Refleksi Geser (vektor sejajar):

$T_{\vec{v}} \circ R_l = R_l \circ T_{\vec{v}}$ ✅ (komutatif)

Untuk Komposisi Umum (vektor tidak sejajar):

$T_{\vec{v}} \circ R_l \neq R_l \circ T_{\vec{v}}$ ❌ (tidak komutatif)

Asal Mula dan Derivasi Matriks Representasi

1. Koordinat Homogen

Untuk merepresentasikan transformasi affine (termasuk translasi) dengan matriks, kita gunakan koordinat homogen:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

Koordinat tambahan "1" memungkinkan translasi direpresentasikan sebagai perkalian matriks

2a. Matriks Refleksi

Refleksi terhadap sumbu-x:

$$R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$(x, y) \mapsto (x, -y)$

Refleksi terhadap sumbu-y:

$$R_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$(x, y) \mapsto (-x, y)$

Refleksi terhadap $y = x$:

$$R_{y=x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$(x, y) \mapsto (y, x)$

2b. Matriks Translasi

Translasi umum $(a, b)$:

$$T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$(x, y) \mapsto (x+a, y+b)$

Catatan: Kolom ketiga matriks translasi berisi komponen vektor translasi

3. Komposisi Matriks untuk Refleksi Geser

Contoh: Refleksi terhadap sumbu-x diikuti translasi $(a, 0)$

$$G = T_{(a,0)} \circ R_x = T_{(a,0)} \times R_x$$
$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Baris 1:

$(1, 0, a)$ - x tetap + translasi $a$

Baris 2:

$(0, -1, 0)$ - y direfleksikan

Baris 3:

$(0, 0, 1)$ - koordinat homogen

4. Proses Perkalian Matriks Step-by-Step

Contoh 1: Refleksi sumbu-x + Translasi $(3, 0)$

Matriks yang akan dikalikan:

$$T_{(3,0)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Perkalian matriks $T_{(3,0)} \times R_x$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Kolom 1:

$(1×1 + 0×0 + 3×0) = 1$

$(0×1 + 1×0 + 0×0) = 0$

$(0×1 + 0×0 + 1×0) = 0$

Kolom 2:

$(1×0 + 0×(-1) + 3×0) = 0$

$(0×0 + 1×(-1) + 0×0) = -1$

$(0×0 + 0×(-1) + 1×0) = 0$

Kolom 3:

$(1×0 + 0×0 + 3×1) = 3$

$(0×0 + 1×0 + 0×1) = 0$

$(0×0 + 0×0 + 1×1) = 1$

Hasil akhir:

$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Contoh 2: Refleksi $y = x$ + Translasi $(0, 4)$

Matriks yang akan dikalikan:

$$T_{(0,4)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_{y=x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Perkalian matriks $T_{(0,4)} \times R_{y=x}$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Kolom 1:

$(1×0 + 0×1 + 0×0) = 0$

$(0×0 + 1×1 + 4×0) = 1$

$(0×0 + 0×1 + 1×0) = 0$

Kolom 2:

$(1×1 + 0×0 + 0×0) = 1$

$(0×1 + 1×0 + 4×0) = 0$

$(0×1 + 0×0 + 1×0) = 0$

Kolom 3:

$(1×0 + 0×0 + 0×1) = 0$

$(0×0 + 1×0 + 4×1) = 4$

$(0×0 + 0×0 + 1×1) = 1$

Hasil akhir:

$$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

📝 Aturan Perkalian Matriks

Elemen $(i,j)$ hasil = (baris ke-$i$ matriks kiri) · (kolom ke-$j$ matriks kanan)

Rumus umum: $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \times B_{kj}$

Catatan: Urutan perkalian penting! $A \times B \neq B \times A$ (tidak komutatif)

5. Verifikasi dengan Contoh Titik

Contoh: Titik $P(2, 3)$ dengan matriks refleksi geser sumbu-x + translasi $(3, 0)$

Matriks hasil perkalian:

$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Aplikasi pada titik $P(2, 3)$ (dalam koordinat homogen):

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1×2 + 0×3 + 3×1 \\ 0×2 + (-1)×3 + 0×1 \\ 0×2 + 0×3 + 1×1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Hasil: Titik $P(2, 3)$ menjadi $P'(5, -3)$

Verifikasi manual:

Langkah 1 - Refleksi sumbu-x: $(2, 3) \rightarrow (2, -3)$

Langkah 2 - Translasi $(3, 0)$: $(2, -3) \rightarrow (2+3, -3) = (5, -3)$ ✓

Contoh: Titik $Q(1, 4)$ dengan matriks refleksi geser $y=x$ + translasi $(0, 4)$

Matriks hasil perkalian:

$$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Aplikasi pada titik $Q(1, 4)$:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0×1 + 1×4 + 0×1 \\ 1×1 + 0×4 + 4×1 \\ 0×1 + 0×4 + 1×1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Hasil: Titik $Q(1, 4)$ menjadi $Q'(4, 5)$

Verifikasi manual:

Langkah 1 - Refleksi $y=x$: $(1, 4) \rightarrow (4, 1)$

Langkah 2 - Translasi $(0, 4)$: $(4, 1) \rightarrow (4, 1+4) = (4, 5)$ ✓

Simulasi Interaktif

Kontrol Parameter

Langkah-langkah:

  1. Pilih sumbu refleksi
  2. Atur jarak translasi
  3. Klik "Animasi Transformasi"
  4. Amati proses transformasi

Implikasi Refleksi Geser

Dalam Geometri

🏛️ Simetri Kristalografi

Refleksi geser adalah salah satu dari 17 grup wallpaper dalam klasifikasi pola bidang

🔄 Grup Transformasi

Membentuk subgrup dari grup isometri bidang dengan sifat-sifat khusus

📐 Klasifikasi Isometri

Merupakan satu-satunya isometri yang tidak memiliki titik tetap dan mengubah orientasi

Aplikasi Praktis

🎨 Desain Grafis

Pembuatan pola dekoratif, wallpaper, dan motif tekstil

🏗️ Arsitektur

Analisis simetri bangunan dan elemen dekoratif arsitektural

💻 Grafika Komputer

Algoritma transformasi objek 2D dan 3D dalam pemrograman grafis

Teorema Fundamental

Teorema Klasifikasi Isometri

Setiap isometri bidang dapat diklasifikasikan sebagai salah satu dari:

  • Identitas
  • Translasi
  • Refleksi
  • Rotasi
  • Refleksi Geser

Sifat Unik

Refleksi geser $G$ memenuhi:

$$G^2 = T_{2\vec{v}}$$

dimana $\vec{v}$ adalah vektor translasi

Latihan Pemahaman

Soal 1: Analisis Transformasi

Diberikan titik $A(2, 3)$ mengalami refleksi geser dengan sumbu refleksi $y = 0$ (sumbu-x) dan vektor translasi $\vec{v} = (4, 0)$. Tentukan koordinat titik $A''$ setelah transformasi!

Soal 2: Matriks Transformasi

Tuliskan matriks transformasi untuk refleksi geser dengan refleksi terhadap garis $y = x$ diikuti translasi $(0, 3)$!