Rotasi

Pengertian Rotasi

Rotasi adalah transformasi geometri yang memindahkan suatu titik dengan memutarnya terhadap titik pusat tertentu (origin) dengan sudut tertentu. Dalam matematika, rotasi mempertahankan jarak dan bentuk objek.

Sistem Koordinat: Kartesian dan Polar

Sebelum memahami rotasi, penting untuk mengetahui dua sistem koordinat yang sering digunakan dalam matematika:

Koordinat Kartesian

Sistem koordinat Kartesian menentukan posisi titik dengan pasangan nilai \((x, y)\):

  • \(x\) = jarak horizontal dari sumbu-y
  • \(y\) = jarak vertikal dari sumbu-x

Kelebihan: Mudah digunakan untuk operasi aljabar, penulisan persamaan garis dan kurva.

Koordinat Polar

Sistem koordinat Polar menentukan posisi titik dengan pasangan nilai \((r, \theta)\):

  • \(r\) = jarak dari titik asal (origin)
  • \(\theta\) = sudut yang dibentuk dengan sumbu-x positif

Kelebihan: Sangat cocok untuk mendeskripsikan rotasi dan pergerakan melingkar.

Hubungan Antara Koordinat Kartesian dan Polar

Konversi dari Polar ke Kartesian:

\[ \begin{align*} x &= r\cos\theta \\ y &= r\sin\theta \end{align*} \]

Konversi dari Kartesian ke Polar:

\[ \begin{align*} r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta &= \arctan(y/x) \end{align*} \]

Pada visualisasi:

  • Titik P direpresentasikan dalam koordinat Kartesian (x,y) dan Polar (r,θ)
  • r = jarak dari titik asal (origin) ke titik P
  • θ = sudut yang dibentuk dengan sumbu-x positif
  • Hubungan: x = r·cos(θ) dan y = r·sin(θ)

Memahami Rotasi Secara Intuitif

Konsep rotasi menjadi sangat jelas ketika dipahami melalui koordinat polar. Jika sebuah titik P berada pada koordinat polar (r,θ), maka merotasi titik tersebut sebesar α sama dengan mengubah koordinat menjadi (r,θ+α).

Dengan kata lain, rotasi hanya mengubah sudut, bukan jarak dari pusat rotasi.

Pada visualisasi ini:

  • Titik P memiliki koordinat polar (r,θ)
  • Ketika dirotasi sebesar α, koordinat menjadi (r,θ+α)
  • Jarak r tetap sama (isometri)
  • Hanya sudut θ yang berubah

Inilah mengapa rotasi adalah transformasi isometri yang mempertahankan jarak.

Penurunan Rumus Rotasi

Bagaimana kita mendapatkan rumus rotasi untuk koordinat Kartesian? Mari kita turunkan bersama:

Misalkan titik P(x,y) dalam koordinat Kartesian:

  1. Ubah ke koordinat polar: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) dan \(\theta = \arctan(y/x)\)
  2. Kita tahu bahwa \(x = r\cos\theta\) dan \(y = r\sin\theta\)
  3. Setelah rotasi sebesar α, koordinat polar menjadi (r, θ+α)
  4. Konversi kembali ke Kartesian: \[ \begin{align*} x' &= r\cos(\theta+\alpha) \\ y' &= r\sin(\theta+\alpha) \end{align*} \]
  5. Gunakan identitas trigonometri: \[ \begin{align*} \cos(\theta+\alpha) &= \cos\theta\cos\alpha - \sin\theta\sin\alpha \\ \sin(\theta+\alpha) &= \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha \end{align*} \]
  6. Substitusi ke persamaan x' dan y': \[ \begin{align*} x' &= r\cos\theta\cos\alpha - r\sin\theta\sin\alpha \\ y' &= r\sin\theta\cos\alpha + r\cos\theta\sin\alpha \end{align*} \]
  7. Ingat bahwa \(x = r\cos\theta\) dan \(y = r\sin\theta\), jadi: \[ \begin{align*} x' &= x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' &= y\cos\alpha + x\sin\alpha \end{align*} \]

Inilah rumus rotasi dasar! Dalam bentuk matriks:

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

Perhatikan bahwa matriks rotasi ini adalah hasil dari mengkonversi ke koordinat polar, memodifikasi sudut, lalu mengkonversi kembali ke koordinat Kartesian. Identitas trigonometri untuk sudut ganda memungkinkan kita menyederhanakan proses ini menjadi perkalian matriks sederhana.

Dalam bentuk persamaan:

\[ \begin{align*} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{align*} \]

Sifat-sifat Rotasi

  • Rotasi mempertahankan jarak (isometri): jarak antara dua titik sebelum dan sesudah rotasi tetap sama.
  • Rotasi mempertahankan sudut (konformal): sudut antara dua garis sebelum dan sesudah rotasi tetap sama.
  • Rotasi mempertahankan orientasi: arah putaran objek dipertahankan.
  • Rotasi dengan sudut \(360^{\circ}\) atau \(2\pi\) radian mengembalikan objek ke posisi semula.

Matriks Rotasi

Matriks rotasi untuk rotasi 2D dengan sudut \(\theta\) berlawanan arah jarum jam adalah:

\[ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]

Visualisasi Dasar Rotasi

Pada visualisasi ini:

  • Titik asal (0,0) berada di tengah kanvas
  • Titik dan vektor berwarna hijau adalah posisi awal
  • Titik dan vektor berwarna biru adalah hasil rotasi
  • Geser slider untuk mengubah sudut rotasi

Rotasi sebagai Perkalian Dua Transformasi

Salah satu cara untuk memahami rotasi adalah dengan melihatnya sebagai komposisi (perkalian) dari dua transformasi yang lebih sederhana. Secara khusus, rotasi dapat dilihat sebagai hasil dari dua refleksi berurutan.

Rotasi sebagai Komposisi Dua Refleksi

Teorema penting: Komposisi dari dua refleksi terhadap garis yang berpotongan di titik P akan menghasilkan rotasi di sekitar titik P dengan sudut sebesar dua kali sudut antara dua garis tersebut.

Misalkan kita memiliki dua garis \(L_1\) dan \(L_2\) yang membentuk sudut \(\alpha\). Jika kita melakukan refleksi terhadap \(L_1\) diikuti dengan refleksi terhadap \(L_2\), hasilnya akan sama dengan rotasi sebesar \(2\alpha\) (dua kali sudut antara kedua garis).

Bukti Aljabar:

Misalkan \(M_1\) adalah matriks refleksi terhadap garis \(L_1\) yang membentuk sudut \(\frac{\alpha}{2}\) dengan sumbu x, dan \(M_2\) adalah matriks refleksi terhadap garis \(L_2\) yang membentuk sudut \(\frac{-\alpha}{2}\) dengan sumbu x.

Matriks refleksi terhadap garis yang membentuk sudut \(\phi\) dengan sumbu x adalah:

\[ M_{\phi} = \begin{bmatrix} \cos(2\phi) & \sin(2\phi) \\ \sin(2\phi) & -\cos(2\phi) \end{bmatrix} \]

Maka:

\[ M_1 = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & -\cos(\alpha) \end{bmatrix} \]
\[ M_2 = \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & \sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & -\cos(-\alpha) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & -\cos(\alpha) \end{bmatrix} \]

Komposisi dari kedua refleksi adalah perkalian matriks \(M_2 \cdot M_1\):

\[ \begin{align*} M_2 \cdot M_1 &= \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & -\cos(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & -\cos(\alpha) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin(\alpha)(-\cos(\alpha)) \\ -\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos(\alpha)\sin(\alpha) & -\sin(\alpha)\sin(\alpha) - \cos(\alpha)(-\cos(\alpha)) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos(2\alpha) & 0 \\ -2\sin(\alpha)\cos(\alpha) & \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos(2\alpha) & 0 \\ -\sin(2\alpha) & 1 \end{bmatrix} \end{align*} \]

Yang merupakan matriks rotasi sebesar \(2\alpha\).

Aplikasi dan Implikasi

Pemahaman rotasi sebagai komposisi dua refleksi memiliki beberapa implikasi penting:

  • Hal ini menunjukkan hubungan mendalam antara refleksi dan rotasi dalam geometri transformasi.
  • Konsep ini menyederhanakan beberapa operasi rotasi kompleks, terutama dalam kristalografi dan teori grup.
  • Membantu dalam pembuktian teorema-teorema geometri yang melibatkan rotasi.
  • Memberikan metode alternatif untuk melakukan rotasi dalam komputasi grafis.

Visualisasi Rotasi sebagai Dua Refleksi

Pada visualisasi ini:

  • Titik hijau adalah posisi awal
  • Titik merah adalah hasil refleksi pertama terhadap garis L₁
  • Titik biru adalah hasil refleksi kedua terhadap garis L₂
  • Titik biru juga merupakan hasil rotasi sebesar 2α dari titik hijau
  • Geser slider untuk mengubah sudut antara kedua garis refleksi

Simulasi Interaktif Rotasi

Rotasi Objek

Gunakan simulasi ini untuk merotasi objek dan melihat perubahan koordinat titik-titiknya.

Koordinat Titik-Titik Objek:

Titik Koordinat Awal Koordinat Setelah Rotasi
A (2, 0) (2, 0)
B (0, 2) (0, 2)
C (-2, 0) (-2, 0)
D (0, -2) (0, -2)

Rotasi sebagai Hasil Dua Refleksi

Eksperimen dengan simulasi ini untuk melihat bagaimana dua refleksi berurutan menghasilkan rotasi dengan sudut dua kali sudut di antara garis-garis refleksi.

Penjelasan:

  1. Objek asli ditampilkan dengan garis hijau
  2. Refleksi pertama terhadap garis L₁ (merah)
  3. Refleksi kedua terhadap garis L₂ (biru)
  4. Hasil akhir sama dengan rotasi sebesar 2α (dua kali sudut antara L₁ dan L₂)

Sudut rotasi yang dihasilkan: 60°