Belajar Ruas Garis Berarah dan Translasi

Pendahuluan

Dalam modul ini, kita akan mempelajari konsep ruas garis berarah, sifat-sifat translasi, hasil kali translasi, dan bagaimana translasi dapat dipandang sebagai hasil kali dua transformasi.

Modul ini dilengkapi dengan visualisasi interaktif untuk membantu pemahaman konsep-konsep abstrak yang dibahas.

Tujuan Pembelajaran

Memahami konsep ruas garis berarah dan representasinya
Menguasai sifat-sifat translasi sebagai transformasi geometri
Menganalisis hasil kali dari beberapa translasi
Memahami translasi sebagai hasil kali dari dua transformasi

Pengertian Ruas Garis Berarah

Ruas garis berarah (directed line segment) adalah sebuah ruas garis yang memiliki arah tertentu. Secara matematis, ruas garis berarah dari titik \(A\) ke titik \(B\) dilambangkan dengan \(\overrightarrow{AB}\).

Definisi Formal

Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah dua titik berbeda pada bidang Euclides. Ruas garis berarah \(\overrightarrow{AB}\) didefinisikan sebagai vektor yang:

Memiliki titik awal \(A\) dan titik akhir \(B\)
Memiliki panjang sama dengan jarak antara \(A\) dan \(B\)
Memiliki arah dari \(A\) menuju \(B\)

Dalam koordinat Kartesius, jika \(A(x_1, y_1)\) dan \(B(x_2, y_2)\), maka \(\overrightarrow{AB}\) dapat direpresentasikan sebagai pasangan terurut:

\[\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]

Sifat-sifat Ruas Garis Berarah

\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
Jika \(C\) adalah titik pada garis yang sama, maka \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Jika \(A = B\), maka \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\) (vektor nol)

Visualisasi Ruas Garis Berarah

Titik A:

Titik B:

Sifat Translasi

Translasi adalah transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang sama. Secara formal, translasi oleh vektor \(\overrightarrow{v} = (a, b)\) memetakan titik \(P(x, y)\) ke titik \(P'(x+a, y+b)\).

Sifat-sifat Dasar Translasi

Isometri: Translasi mempertahankan jarak antar titik
Kesebangunan: Translasi mempertahankan ukuran dan bentuk objek
Orientasi: Translasi mempertahankan orientasi (tidak membalik objek)
Kesejajaran: Garis-garis sejajar tetap sejajar setelah translasi

Representasi Matematis

Misalkan \(T_{\overrightarrow{v}}\) adalah translasi oleh vektor \(\overrightarrow{v} = (a, b)\), maka untuk setiap titik \(P(x, y)\):

\[T_{\overrightarrow{v}}(P) = P' = P + \overrightarrow{v} = (x+a, y+b)\]

Dalam bentuk matriks, translasi tidak dapat dinyatakan sebagai transformasi linear sederhana di \(\mathbb{R}^2\), tetapi dapat dinyatakan dalam koordinat homogen:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

Visualisasi Translasi

Vektor Translasi: x: 2 y: 1

Hasil Kali Translasi

Hasil kali translasi adalah komposisi dari dua atau lebih translasi. Misalkan \(T_{\overrightarrow{u}}\) adalah translasi oleh vektor \(\overrightarrow{u}\) dan \(T_{\overrightarrow{v}}\) adalah translasi oleh vektor \(\overrightarrow{v}\), maka hasil kali kedua translasi ini dinotasikan sebagai \(T_{\overrightarrow{u}} \circ T_{\overrightarrow{v}}\).

Sifat Komposisi Translasi

Misalkan \(T_{\overrightarrow{u}}\) dan \(T_{\overrightarrow{v}}\) adalah dua translasi, maka:

\[T_{\overrightarrow{u}} \circ T_{\overrightarrow{v}} = T_{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}}\]

Dengan kata lain, komposisi dua translasi adalah translasi lain yang vektornya merupakan jumlah dari kedua vektor translasi awal.

Jika \(\overrightarrow{u} = (a, b)\) dan \(\overrightarrow{v} = (c, d)\), maka:

\[T_{\overrightarrow{u}} \circ T_{\overrightarrow{v}} = T_{(a+c, b+d)}\]

Sifat-sifat Aljabar Translasi

Asosiatif: \(T_{\overrightarrow{u}} \circ (T_{\overrightarrow{v}} \circ T_{\overrightarrow{w}}) = (T_{\overrightarrow{u}} \circ T_{\overrightarrow{v}}) \circ T_{\overrightarrow{w}}\)
Komutatif: \(T_{\overrightarrow{u}} \circ T_{\overrightarrow{v}} = T_{\overrightarrow{v}} \circ T_{\overrightarrow{u}}\)
Identitas: \(T_{\overrightarrow{0}} \circ T_{\overrightarrow{v}} = T_{\overrightarrow{v}} = T_{\overrightarrow{v}} \circ T_{\overrightarrow{0}}\)
Invers: \(T_{\overrightarrow{v}} \circ T_{-\overrightarrow{v}} = T_{\overrightarrow{0}} = T_{-\overrightarrow{v}} \circ T_{\overrightarrow{v}}\)

Berdasarkan sifat-sifat di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa kumpulan semua translasi pada bidang membentuk grup Abel (grup komutatif) terhadap operasi komposisi.

Visualisasi Hasil Kali Translasi

Translasi 1: x: 2 y: 1

Translasi 2: x: 1 y: 2

Translasi sebagai Hasil Kali Dua Transformasi

Meskipun translasi merupakan transformasi dasar, translasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali (komposisi) dari dua transformasi lain yang lebih mendasar dalam geometri. Dalam bagian ini, kita akan melihat bagaimana translasi dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua pencerminan (refleksi).

Translasi sebagai Hasil Kali Dua Pencerminan

Teorema penting dalam geometri transformasi menyatakan bahwa:

Translasi oleh vektor \(\overrightarrow{v}\) sama dengan hasil kali dua pencerminan terhadap dua garis sejajar yang berjarak \(\frac{|\overrightarrow{v}|}{2}\) dan tegak lurus terhadap \(\overrightarrow{v}\).

Secara formal, jika \(M_{\ell_1}\) dan \(M_{\ell_2}\) adalah pencerminan terhadap garis \(\ell_1\) dan \(\ell_2\) yang sejajar dan berjarak \(\frac{|\overrightarrow{v}|}{2}\), serta tegak lurus terhadap \(\overrightarrow{v}\), maka:

\[T_{\overrightarrow{v}} = M_{\ell_2} \circ M_{\ell_1}\]

Bukti Konstruktif

Pertimbangkan titik \(P\) yang akan ditranslasikan dengan vektor \(\overrightarrow{v}\). Kita ingin menunjukkan bahwa hasil pencerminan \(P\) terhadap garis \(\ell_1\) kemudian terhadap garis \(\ell_2\) adalah titik \(P'\) yang merupakan hasil translasi \(P\) oleh \(\overrightarrow{v}\).

Langkah-langkah konstruksi:

Ambil dua garis \(\ell_1\) dan \(\ell_2\) yang sejajar, berjarak \(\frac{|\overrightarrow{v}|}{2}\), dan tegak lurus terhadap \(\overrightarrow{v}\)
Cerminkan \(P\) terhadap \(\ell_1\) untuk mendapatkan \(P_1\)
Cerminkan \(P_1\) terhadap \(\ell_2\) untuk mendapatkan \(P_2\)
Akan dapat dibuktikan bahwa \(P_2 = P'\), di mana \(P'\) adalah hasil translasi \(P\) oleh \(\overrightarrow{v}\)

Implikasi Teoritis

Representasi translasi sebagai hasil kali dua pencerminan memiliki beberapa implikasi penting:

Translasi dapat dinyatakan sebagai komposisi transformasi-transformasi yang lebih dasar (pencerminan)
Pencerminan adalah transformasi yang membalikkan orientasi, sedangkan translasi mempertahankan orientasi. Hal ini konsisten karena komposisi dua transformasi yang membalikkan orientasi akan menghasilkan transformasi yang mempertahankan orientasi
Hubungan ini menjadi dasar untuk klasifikasi isometri di bidang Euclides

Visualisasi Translasi sebagai Hasil Kali Dua Pencerminan

Vektor Translasi: x: 3 y: 2