Transformasi Kesebangunan - Pembelajaran Matematika

Definisi Transformasi Kesebangunan

Dengarkan penjelasan

Transformasi kesebangunan adalah transformasi geometri yang mempertahankan bentuk objek tetapi dapat mengubah ukurannya. Bayangkan Anda memiliki foto yang diperbesar atau diperkecil - bentuknya tetap sama, hanya ukurannya yang berubah.

💡 Analogi Sederhana:

Seperti ketika Anda zoom in/out pada layar komputer - semua objek tetap memiliki bentuk yang sama, hanya ukurannya yang berubah proporsional.

Definisi Formal

Dua bangun A dan A' dikatakan sebangun jika terdapat transformasi kesebangunan T sehingga T(A) = A', dimana:

T = D_k,O ∘ I

dengan D_k,O adalah dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $O$ , dan $I$ adalah isometri (rotasi, refleksi, atau translasi).

🔍 Penjelasan Simbol:

∘ : simbol komposisi (operasi setelah operasi)
k : faktor skala (k > 1 memperbesar, 0 < k < 1 memperkecil)
O : titik pusat dilatasi
I : transformasi isometri (tidak mengubah ukuran)

Sifat-sifat Kesebangunan

📐 Sudut Tetap Sama

∠A = ∠A'

Semua sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama

📏 Sisi Sebanding

a'/a

=

b'/b

=

c'/c

= k

Perbandingan sisi yang bersesuaian selalu sama (faktor skala)

📊 Luas Berubah

L'/L = k²

Luas berubah sesuai kuadrat faktor skala

🧊 Volume Berubah

V'/V = k³

Volume berubah sesuai kubik faktor skala

Contoh Visual Kesebangunan

Segitiga biru dan hijau adalah sebangun dengan faktor skala k = 1.5

Segitiga Asli

Sisi AB = 100px

Luas ≈ 4330 px²

Faktor Skala

k = 1.5

k² = 2.25

Segitiga Hasil

Sisi A'B' = 150px

Luas ≈ 9742 px²

Teorema Kesebangunan

Dengarkan penjelasan teorema

📐 Teorema 1: Kesebangunan AAA (Angle-Angle-Angle)

Konsep: Jika dua segitiga memiliki ketiga sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga tersebut pasti sebangun.

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C' ⇒ △ABC ∼ △A'B'C'

🤔 Mengapa ini bekerja?

Karena jumlah sudut dalam segitiga selalu 180°, jika dua sudut sama, sudut ketiga otomatis sama juga. Bentuk segitiga ditentukan oleh sudut-sudutnya, bukan ukuran sisinya.

📏 Teorema 2: Kesebangunan SAS (Side-Angle-Side)

Konsep: Jika dua sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut yang diapit sama besar, maka kedua segitiga sebangun.

AB/A'B'

=

AC/A'C'

dan ∠A = ∠A' ⇒ △ABC ∼ △A'B'C'

🤔 Mengapa ini bekerja?

Sudut yang sama dengan sisi-sisi pembentuknya sebanding akan menghasilkan segitiga dengan bentuk yang sama. Seperti membuat segitiga dengan dua tongkat yang panjangnya sebanding dan sudut yang sama.

📐 Teorema 3: Kesebangunan SSS (Side-Side-Side)

Konsep: Jika ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sebanding, maka kedua segitiga sebangun.

AB/A'B'

=

BC/B'C'

=

AC/A'C'

⇒ △ABC ∼ △A'B'C'

🤔 Mengapa ini bekerja?

Jika semua sisi sebanding dengan rasio yang sama, bentuk segitiga pasti sama. Ini seperti membuat model skala - semua bagian diperbesar/diperkecil dengan faktor yang sama.

Demonstrasi Interaktif Teorema AAA

Animasi akan menunjukkan bagaimana sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Hasil Kali Transformasi dengan Dilasi

Dengarkan penjelasan dilasi

🔄 Komposisi Transformasi

Transformasi kesebangunan dapat dinyatakan sebagai hasil kali (komposisi) dari isometri dan dilatasi. Bayangkan seperti melakukan dua aksi berturut-turut pada sebuah objek.

T_kesebangunan = D_k,O ∘ I atau T_kesebangunan = I ∘ D_k,O

📝 Penjelasan Notasi:

∘ = simbol komposisi (baca: "kemudian" atau "diikuti oleh")
D_k,O = dilatasi dengan faktor k dan pusat O
I = isometri (rotasi, refleksi, atau translasi)
Urutan operasi: dibaca dari kanan ke kiri

🎯 Urutan 1: Dilatasi → Isometri

(I ∘ D_k,O)(P) = I(D_k,O(P))

Langkah 1: Titik P diperbesar/diperkecil terlebih dahulu

Langkah 2: Hasil dilatasi kemudian ditransformasi secara isometri

Contoh: Perbesar 2x, lalu putar 90°

🎯 Urutan 2: Isometri → Dilatasi

(D_k,O ∘ I)(P) = D_k,O(I(P))

Langkah 1: Titik P ditransformasi secara isometri terlebih dahulu

Langkah 2: Hasil isometri kemudian diperbesar/diperkecil

Contoh: Putar 90°, lalu perbesar 2x

⚡ Sifat-sifat Khusus

🔢 Komposisi Dilatasi

D_k₂,O ∘ D_k₁,O = D_k₁·k₂,O

Dilatasi berturut-turut = dilatasi dengan hasil kali faktor

🆔 Transformasi Identitas

k = 1 ⇒ objek tidak berubah

Faktor skala 1 = tidak ada perubahan ukuran

🔄 Rotasi 180°

k = -1 ⇒ rotasi 180°

Faktor skala -1 = rotasi setengah putaran

📏 Sifat Geometri

Mempertahankan paralelisme dan kolinearitas

📊 Contoh Perhitungan Langkah demi Langkah

📍 Contoh 1: Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = 2

Diketahui:

• Titik A(3, 4)
• Pusat dilatasi O(0, 0)
• Faktor skala k = 2

Langkah penyelesaian:

1. Rumus dilatasi: D_k,O(x,y) = (kx, ky)

2. Substitusi: D_2,(0,0)(3, 4)

3. Hitung: (2×3, 2×4) = (6, 8)

Hasil:

A' = (6, 8)

Titik A(3,4) berubah menjadi A'(6,8) setelah dilatasi dengan faktor 2.

Verifikasi:
Jarak dari O ke A = √(3² + 4²) = 5
Jarak dari O ke A' = √(6² + 8²) = 10 = 2×5 ✓

🔄 Contoh 2: Komposisi rotasi dan dilatasi

Diketahui:

• Rotasi 90° searah jarum jam terhadap pusat O
• Kemudian dilatasi dengan faktor 1.5
• Titik P(x, y)

Langkah penyelesaian:

1. Rotasi -90°: (x,y) → (y,-x)

2. Dilatasi 1.5: (y,-x) → (1.5y, -1.5x)

3. Komposisi: T(x,y) = (1.5y, -1.5x)

Rumus Akhir:

T(x, y) = (1.5y, -1.5x)

Contoh: T(2, 4) = (1.5×4, -1.5×2) = (6, -3)

Catatan: Urutan operasi sangat penting! Rotasi dulu baru dilatasi memberikan hasil yang berbeda dari dilatasi dulu baru rotasi.

🎯 Latihan Interaktif

Panduan latihan

Progress Latihan 0/5 selesai

📐 Latihan 1: Identifikasi Teorema Kesebangunan

Diberikan dua segitiga dengan informasi berikut:
• Segitiga ABC: ∠A = 60°, ∠B = 70°, ∠C = 50°
• Segitiga DEF: ∠D = 60°, ∠E = 70°, ∠F = 50°

Teorema kesebangunan mana yang dapat digunakan?

AAA (Angle-Angle-Angle) SAS (Side-Angle-Side) SSS (Side-Side-Side)

📏 Latihan 2: Menghitung Faktor Skala

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF. Jika:
• Sisi AB = 6 cm
• Sisi DE = 9 cm (bersesuaian dengan AB)

Berapakah faktor skala dari segitiga ABC ke segitiga DEF?

Faktor skala k =

🎯 Latihan 3: Transformasi Dilatasi

Titik P(4, 6) mengalami dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k = 0.5

Tentukan koordinat titik P' setelah dilatasi!

Koordinat x':

Koordinat y':

📊 Latihan 4: Perbandingan Luas

Dua bangun sebangun memiliki faktor skala k = 3. Jika luas bangun asli adalah 12 cm²:

Berapakah luas bangun setelah transformasi?

Luas baru = cm²

💡 Ingat: Luas berubah sesuai k²

🔄 Latihan 5: Komposisi Transformasi

Sebuah titik mengalami dua dilatasi berturut-turut:
• Dilatasi pertama dengan faktor k₁ = 2
• Dilatasi kedua dengan faktor k₂ = 1.5
(Kedua dilatasi dengan pusat yang sama)

Berapakah faktor skala total dari komposisi kedua dilatasi?

Faktor skala total =

💡 Rumus: D_k₂,O ∘ D_k₁,O = D_k₁·k₂,O

🎮 Simulasi Interaktif

Panduan simulasi

Faktor skala: 1.5

Rotasi: 0°

Perbandingan luas: 2.25

🎛️ Kontrol Transformasi

Faktor Skala (k)

0.5x k = 1.5 3x

Rotasi (θ)

0° θ = 0° 360°

Jenis Bangun

Mode Animasi

ℹ️ Informasi Real-time

• Bangun biru = objek asli

• Bangun hijau = hasil transformasi

• Titik merah = pusat transformasi

• Garis putus-putus = panduan kesebangunan

Tips: Gunakan tombol cepat di bawah canvas untuk transformasi instan!

📊 Data Matematis

Luas asli: -

Luas transformasi: -

Perimeter asli: -

Perimeter transformasi: -

Definisi Transformasi Kesebangunan

💡 Analogi Sederhana:

Definisi Formal

🔍 Penjelasan Simbol:

Sifat-sifat Kesebangunan

📐 Sudut Tetap Sama

📏 Sisi Sebanding

📊 Luas Berubah

🧊 Volume Berubah

Contoh Visual Kesebangunan

Segitiga Asli

Faktor Skala

Segitiga Hasil

Teorema Kesebangunan

📐 Teorema 1: Kesebangunan AAA (Angle-Angle-Angle)

🤔 Mengapa ini bekerja?

📏 Teorema 2: Kesebangunan SAS (Side-Angle-Side)

🤔 Mengapa ini bekerja?

📐 Teorema 3: Kesebangunan SSS (Side-Side-Side)

🤔 Mengapa ini bekerja?

Demonstrasi Interaktif Teorema AAA

Hasil Kali Transformasi dengan Dilasi

🔄 Komposisi Transformasi

📝 Penjelasan Notasi:

🎯 Urutan 1: Dilatasi → Isometri

🎯 Urutan 2: Isometri → Dilatasi

⚡ Sifat-sifat Khusus

🔢 Komposisi Dilatasi

🆔 Transformasi Identitas

🔄 Rotasi 180°

📏 Sifat Geometri

📊 Contoh Perhitungan Langkah demi Langkah

📍 Contoh 1: Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = 2

Hasil:

🔄 Contoh 2: Komposisi rotasi dan dilatasi

Rumus Akhir:

🎯 Latihan Interaktif

📐 Latihan 1: Identifikasi Teorema Kesebangunan

📏 Latihan 2: Menghitung Faktor Skala

🎯 Latihan 3: Transformasi Dilatasi

📊 Latihan 4: Perbandingan Luas

🔄 Latihan 5: Komposisi Transformasi

🎉 Selamat!

🎮 Simulasi Interaktif

🎛️ Kontrol Transformasi

ℹ️ Informasi Real-time

📊 Data Matematis