Metode Numerik: Gauss - Aplikasi Pertambangan

Pengenalan

Kamus Istilah

Metode Gauss

Studi Kasus

Pengenalan Metode Gauss

Metode Gauss adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini dikembangkan oleh matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss dan merupakan salah satu metode yang paling banyak digunakan dalam komputasi matematika.

Konsep Dasar

Metode Gauss menggunakan prinsip eliminasi bertahap untuk mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk segitiga atas (upper triangular), kemudian dilanjutkan dengan substitusi mundur untuk mendapatkan solusinya.

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linear:

\begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n &= b_n \end{align*}

Dalam format matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai:

\begin{align*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \end{align*}

Langkah-langkah Metode Gauss

Persiapan: Susun persamaan linear dalam bentuk matriks augmented [A|b].
Eliminasi Maju: Ubah matriks menjadi bentuk segitiga atas (upper triangular) melalui operasi baris elementer:
- Pertukaran baris (jika diperlukan)
- Pengalian baris dengan konstanta non-nol
- Penambahan kelipatan baris ke baris lainnya
Substitusi Mundur: Hitung nilai variabel dimulai dari baris terakhir, kemudian mundur ke atas.

Aplikasi dalam Pertambangan

Metode Gauss memiliki berbagai aplikasi penting dalam dunia pertambangan, di antaranya:

Analisis Sistem Ventilasi Tambang: Menghitung distribusi aliran udara dalam jaringan ventilasi tambang bawah tanah.
Pemodelan Air Tanah: Menyelesaikan persamaan aliran air tanah untuk prediksi dewatering tambang.
Analisis Tegangan pada Struktur Penyanggah: Menentukan distribusi tegangan pada sistem penyanggah tambang.
Optimasi Perencanaan Tambang: Menyelesaikan sistem persamaan dalam model optimasi tambang.
Pemodelan Proses Metalurgi: Menyeimbangkan persamaan kimia dalam proses ekstraksi mineral.

Pada menu Metode Gauss, kita akan mempelajari metode Gauss secara mendalam dengan contoh langkah demi langkah yang dapat Anda ikuti.

Kamus Istilah Metode Gauss

Berikut adalah istilah-istilah penting dalam metode eliminasi Gauss beserta penjelasan dan contohnya:

Sistem Persamaan Linear

Kumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel yang harus diselesaikan secara bersamaan.

Contoh:

\begin{align*} 2x + 3y - z &= 8\\ 4x - 2y + 5z &= 7\\ x + y + z &= 2 \end{align*}

Matriks Augmented

Matriks yang dibentuk dengan menggabungkan matriks koefisien dari sistem persamaan dengan kolom konstanta (sisi kanan persamaan). Dipisahkan dengan garis vertikal untuk memudahkan visualisasi.

Untuk contoh sistem persamaan di atas, matriks augmented-nya adalah:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Pivot

Elemen dalam matriks yang digunakan sebagai pembagi untuk mengeliminasi elemen di bawahnya dalam satu kolom selama proses eliminasi Gauss. Pivot biasanya elemen diagonal (a₁₁, a₂₂, dst) dalam matriks.

Dalam langkah pertama eliminasi Gauss di bawah ini, pivot adalah elemen 2 (posisi a₁₁):

\begin{align*} \begin{bmatrix} \boxed{2} & 3 & -1 & | & 8 \\ 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Operasi Baris Elementer

Tiga jenis operasi dasar yang dapat dilakukan pada baris matriks yang tidak mengubah solusi sistem persamaan:

Menukar posisi dua baris
Mengalikan seluruh elemen dalam satu baris dengan konstanta non-nol
Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya

Contoh operasi tipe ketiga: menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 0 & -8 & 7 & | & -9 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Faktor Pengali (Multiplier)

Nilai yang digunakan untuk menentukan berapa kali satu baris perlu dikalikan sebelum ditambahkan atau dikurangkan dari baris lain untuk menghasilkan nol di suatu posisi tertentu.

Untuk mengubah elemen a₂₁ = 4 menjadi 0 menggunakan pivot a₁₁ = 2:

Faktor pengali = a₂₁/a₁₁ = 4/2 = 2

Maka baris kedua baru = baris kedua - 2 × baris pertama

Eliminasi Maju (Forward Elimination)

Proses mengubah matriks augmented menjadi bentuk segitiga atas (upper triangular) dengan melakukan operasi baris elementer. Tujuannya adalah membuat semua elemen di bawah diagonal utama menjadi nol.

Matriks sebelum eliminasi maju:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Matriks setelah eliminasi maju:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 0 & -8 & 7 & | & -9 \\ 0 & 0 & 1.5 & | & 0.75 \end{bmatrix} \end{align*}

Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular Matrix)

Matriks di mana semua elemen di bawah diagonal utama adalah nol. Bentuk ini adalah hasil dari proses eliminasi maju dalam metode Gauss.

Contoh matriks segitiga atas:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 10 \\ 0 & 4 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 5 & | & 15 \end{bmatrix} \end{align*}

Substitusi Mundur (Back Substitution)

Proses menentukan nilai variabel satu per satu, dimulai dari variabel terakhir, setelah matriks diubah menjadi bentuk segitiga atas. Nilai yang diperoleh disubstitusikan kembali ke persamaan sebelumnya untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

Dari matriks segitiga atas:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 8 \\ 0 & -8 & 7 & | & -9 \\ 0 & 0 & 1.5 & | & 0.75 \end{bmatrix} \end{align*}

Substitusi mundur:

Dari baris 3: 1.5z = 0.75, sehingga z = 0.5
Dari baris 2: -8y + 7(0.5) = -9, sehingga y = 1.5
Dari baris 1: 2x + 3(1.5) - 1(0.5) = 8, sehingga x = 2

Partial Pivoting

Teknik untuk meningkatkan stabilitas numerik dalam eliminasi Gauss dengan memilih elemen pivot terbesar dalam suatu kolom (secara absolut) melalui pertukaran baris. Teknik ini membantu mengurangi kesalahan pembulatan dalam perhitungan komputer.

Jika kita memiliki matriks:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 0.001 & 3 & -1 & | & 8 \\ 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Untuk kolom pertama, pivot 0.001 sangat kecil dan bisa menyebabkan ketidakstabilan numerik. Dengan partial pivoting, kita menukar baris 1 dan 2 karena |4| > |0.001| dan |4| > |1|:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 4 & -2 & 5 & | & 7 \\ 0.001 & 3 & -1 & | & 8 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Matriks Singular

Matriks koefisien yang determinannya nol. Sistem persamaan dengan matriks singular tidak memiliki solusi unik (bisa tidak ada solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi).

Contoh matriks singular:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & | & 8 \\ 1 & 2 & 2 & | & 7 \\ 3 & 6 & 1 & | & 15 \end{bmatrix} \end{align*}

Perhatikan bahwa kolom kedua adalah kelipatan dari kolom pertama, yang menunjukkan bahwa matriks tersebut singular.

Matriks Koefisien

Matriks yang hanya berisi koefisien variabel dari sistem persamaan linear, tanpa menyertakan konstanta (sisi kanan persamaan).

Untuk sistem persamaan:

\begin{align*} 2x + 3y - z &= 8\\ 4x - 2y + 5z &= 7\\ x + y + z &= 2 \end{align*}

Matriks koefisiennya adalah:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}

Pengecekan Solusi

Proses memverifikasi kebenaran solusi yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai variabel kembali ke persamaan asli.

Jika kita mendapatkan solusi x = 2, y = 1.5, z = 0.5, kita bisa memeriksa:

2(2) + 3(1.5) - 1(0.5) = 4 + 4.5 - 0.5 = 8 ✓
4(2) - 2(1.5) + 5(0.5) = 8 - 3 + 2.5 = 7.5 ≈ 7 ✓
1(2) + 1(1.5) + 1(0.5) = 2 + 1.5 + 0.5 = 4 ≠ 2 ✗

Dalam contoh ini, solusi tersebut tidak memenuhi persamaan ketiga dengan tepat, mungkin karena kesalahan pembulatan atau kalkulasi.

Studi Kasus: Sistem Drainase Tambang

Pemodelan Sistem Drainase Tambang dengan Metode Gauss

Deskripsi Masalah

Sebuah tambang terbuka memiliki tiga saluran drainase utama yang terhubung dalam sebuah sistem. Insinyur tambang perlu menentukan debit air (dalam m³/jam) di setiap saluran untuk memastikan sistem mampu menangani hujan deras selama musim penghujan.

Berdasarkan analisis tata letak tambang dan data hidrologi, insinyur menyusun tiga persamaan kesetimbangan aliran berikut:

\begin{align} 4x_1 + 2x_2 - x_3 &= 120 \\ 2x_1 + 5x_2 + 3x_3 &= 280 \\ x_1 - 3x_2 + 6x_3 &= 160 \end{align}

Di mana:

$x_1$ = Debit di saluran drainase utama (m³/jam)
$x_2$ = Debit di saluran drainase sekunder (m³/jam)
$x_3$ = Debit di saluran drainase tersier (m³/jam)

Penyelesaian dengan Excel

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini menggunakan metode eliminasi Gauss di Excel, dengan menunjukkan langkah-langkah beserta formula Excel yang digunakan.

Langkah 1: Menyiapkan Matriks Augmented

Pertama, kita menyusun sistem persamaan ke dalam bentuk matriks augmented:

\begin{align} \begin{bmatrix} 4 & 2 & -1 & | & 120 \\ 2 & 5 & 3 & | & 280 \\ 1 & -3 & 6 & | & 160 \end{bmatrix} \end{align}

Dalam Excel, kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam sel A1:E3 sebagai berikut:

A	B	C	D	E
4	2	-1	\|	120
2	5	3	\|	280
1	-3	6	\|	160

Langkah 2: Eliminasi Elemen di Bawah Pivot Kolom Pertama.

Kita gunakan baris pertama sebagai pivot dan eliminasi elemen di bawah pivot di kolom pertama:

Untuk baris kedua, kita hitung faktor pengali:

\begin{align} m_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{2}{4} = 0.5 \end{align}

Kemudian kita perbarui baris kedua:

\begin{align} \text{Baris 2 baru} = \text{Baris 2} - m_{21} \times \text{Baris 1} \end{align}

Rumus Excel untuk baris kedua yang baru:

A2 (baru) = A2 - (A2/A1)*A1 = 2 - (2/4)*4 = 0
B2 (baru) = B2 - (A2/A1)*B1 = 5 - (2/4)*2 = 4
C2 (baru) = C2 - (A2/A1)*C1 = 3 - (2/4)*(-1) = 3.5
E2 (baru) = E2 - (A2/A1)*E1 = 280 - (2/4)*120 = 220

Untuk baris ketiga, kita hitung faktor pengali:

\begin{align} m_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{1}{4} = 0.25 \end{align}

Kemudian kita perbarui baris ketiga:

\begin{align} \text{Baris 3 baru} = \text{Baris 3} - m_{31} \times \text{Baris 1} \end{align}

Rumus Excel untuk baris ketiga yang baru:

A3 (baru) = A3 - (A3/A1)*A1 = 1 - (1/4)*4 = 0
B3 (baru) = B3 - (A3/A1)*B1 = -3 - (1/4)*2 = -3.5
C3 (baru) = C3 - (A3/A1)*C1 = 6 - (1/4)*(-1) = 6.25
E3 (baru) = E3 - (A3/A1)*E1 = 160 - (1/4)*120 = 130

Setelah langkah ini, matriks menjadi:

A	B	C	D	E
4	2	-1	\|	120
0	4	3.5	\|	220
0	-3.5	6.25	\|	130

Langkah 3: Eliminasi Elemen di Bawah Pivot Kolom Kedua.

Sekarang kita gunakan baris kedua sebagai pivot dan eliminasi elemen di bawahnya di kolom kedua:

Untuk baris ketiga, kita hitung faktor pengali:

\begin{align} m_{32} = \frac{a_{32}}{a_{22}} = \frac{-3.5}{4} = -0.875 \end{align}

Kemudian kita perbarui baris ketiga:

\begin{align} \text{Baris 3 baru} = \text{Baris 3} - m_{32} \times \text{Baris 2} \end{align}

Rumus Excel untuk baris ketiga yang baru:

A3 (baru) = A3 - (B3/B2)*A2 = 0 - (-3.5/4)*0 = 0
B3 (baru) = B3 - (B3/B2)*B2 = -3.5 - (-3.5/4)*4 = 0
C3 (baru) = C3 - (B3/B2)*C2 = 6.25 - (-3.5/4)*3.5 = 9.3125
E3 (baru) = E3 - (B3/B2)*E2 = 130 - (-3.5/4)*220 = 322.5

Setelah langkah ini, matriks menjadi:

A	B	C	D	E
4	2	-1	\|	120
0	4	3.5	\|	220
0	0	9.3125	\|	322.5

Sekarang kita telah mendapatkan matriks segitiga atas (upper triangular).

Langkah 4: Substitusi Mundur

Sekarang kita melakukan substitusi mundur untuk mencari nilai x₃, x₂, dan x₁:

Hitung x₃ dari baris ketiga:

\begin{align} 9.3125 x_3 &= 322.5 \\ x_3 &= \frac{322.5}{9.3125} = 34.63 \end{align}

Hitung x₂ dari baris kedua:

\begin{align} 4x_2 + 3.5x_3 &= 220 \\ 4x_2 + 3.5(34.63) &= 220 \\ 4x_2 + 121.21 &= 220 \\ 4x_2 &= 220 - 121.21 = 98.79 \\ x_2 &= \frac{98.79}{4} = 24.70 \end{align}

Hitung x₁ dari baris pertama:

\begin{align} 4x_1 + 2x_2 - x_3 &= 120 \\ 4x_1 + 2(24.70) - 34.63 &= 120 \\ 4x_1 + 49.40 - 34.63 &= 120 \\ 4x_1 + 14.77 &= 120 \\ 4x_1 &= 120 - 14.77 = 105.23 \\ x_1 &= \frac{105.23}{4} = 26.31 \end{align}

Dalam Excel, kita bisa menuliskan formula substitusi mundur sebagai berikut:

x₃ = =E3/C3 = 322.5/9.3125 = 34.63
x₂ = =($E$2-$C$2*x₃)/$B$2 = (220-3.5*34.63)/4 = 24.70
x₁ = =($E$1-$B$1*x₂-$C$1*x₃)/$A$1 = (120-2*24.70-(-1)*34.63)/4 = 26.31

Solusi Akhir:

x₁ = 26.31 m³/jam (debit di saluran drainase utama)
x₂ = 24.70 m³/jam (debit di saluran drainase sekunder)
x₃ = 34.63 m³/jam (debit di saluran drainase tersier)

Implementasi di Excel

Berikut adalah tampilan worksheets Excel untuk penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss:

Excel

Metode Gauss - Sistem Drainase Tambang.xlsx

Home

Insert

Formulas

Data

View

	A	B	C	D	E	F
1	Matriks Koefisien dan Konstanta
2	4	2	-1	\|	120
3	2	5	3	\|	280
4	1	-3	6	\|	160
5
6	Hasil Eliminasi Gauss
7	4	2	-1	\|	120
8	0	4	3.5	\|	220	=(B3-(A3/A2)*B2)
9	0	0	9.3125	\|	322.5	=(C4-(B4/B3)*C3)
10
11	Substitusi Mundur
12	x₃ =	34.63	=E9/C9
13	x₂ =	24.70	=(E8-C8*B12)/B8
14	x₁ =	26.31	=(E7-B7B13-C7B12)/A7
15
16	Verifikasi Solusi
17	Persamaan 1:	120.01	=A2B14+B2B13+C2*B12
18	Persamaan 2:	280.01	=A3B14+B3B13+C3*B12
19	Persamaan 3:	159.99	=A4B14+B4B13+C4*B12

Verifikasi Solusi

Kita dapat memverifikasi solusi dengan mensubstitusi nilai x₁, x₂, dan x₃ kembali ke persamaan asli:

\begin{align} 4(26.31) + 2(24.70) - 34.63 &= 105.24 + 49.40 - 34.63 = 120.01 \approx 120 \\ 2(26.31) + 5(24.70) + 3(34.63) &= 52.62 + 123.50 + 103.89 = 280.01 \approx 280 \\ 1(26.31) - 3(24.70) + 6(34.63) &= 26.31 - 74.10 + 207.78 = 159.99 \approx 160 \end{align}

Dengan perbedaan kecil yang hanya disebabkan oleh pembulatan, hasil ini mengkonfirmasi bahwa solusi yang kita peroleh sudah benar.

Metode Numerik untuk Sistem Persamaan Linier

Metode Gauss

Pengenalan Metode Gauss

Konsep Dasar

Langkah-langkah Metode Gauss

Aplikasi dalam Pertambangan

Kamus Istilah Metode Gauss

Sistem Persamaan Linear

Matriks Augmented

Pivot

Operasi Baris Elementer

Faktor Pengali (Multiplier)

Eliminasi Maju (Forward Elimination)

Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular Matrix)

Substitusi Mundur (Back Substitution)

Partial Pivoting

Matriks Singular

Matriks Koefisien

Pengecekan Solusi

Metode Gauss

Contoh Kasus Pertambangan

Langkah-langkah Penyelesaian dengan Metode Gauss

Studi Kasus: Sistem Drainase Tambang

Pemodelan Sistem Drainase Tambang dengan Metode Gauss

Deskripsi Masalah

Penyelesaian dengan Excel

Langkah 1: Menyiapkan Matriks Augmented

Langkah 2: Eliminasi Elemen di Bawah Pivot Kolom Pertama.

Langkah 3: Eliminasi Elemen di Bawah Pivot Kolom Kedua.

Langkah 4: Substitusi Mundur

Solusi Akhir:

Implementasi di Excel

Verifikasi Solusi