SparkMathics Genie - Metode Numerik Gauss Interactive Learning

✅ Kode berhasil dicopy ke clipboard!

🎵

Kontrol Audio

Volume: 80%

Kecepatan: 85%

📊 Progress Pembelajaran

Materi Selesai

Latihan Benar

Total Skor

📚 Teori Metode Gauss

Pengenalan Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss adalah algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) dengan mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris. Metode ini sangat efektif untuk SPL dengan banyak variabel.

Contoh Sistem Persamaan Linear:

2x + y - z = 8

-3x - y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

Langkah-langkah Metode Gauss

1. Bentuk matriks augmented dari SPL
2. Lakukan operasi baris elementer untuk membuat elemen di bawah diagonal utama = 0
3. Gunakan substitusi mundur untuk mencari solusi

Matriks Augmented [A|b] =

[ a₁₁ a₁₂ a₁₃ | b₁ a₂₁ a₂₂ a₂₃ | b₂ a₃₁ a₃₂ a₃₃ | b₃ ]

Implementasi di GNU Octave

GNU Octave dapat membantu kita memahami berbagai metode numerik dengan menyusun tahapan penyelesaiannya melalui rangkaian kode yang logis..

💻 Praktik Koding Step-by-Step untuk Pemula

🎯 Panduan untuk Pemula

Jangan khawatir jika Anda belum pernah coding sebelumnya! Kami akan mulai dari dasar dan menjelaskan setiap detail step by step. GNU Octave adalah bahasa pemrograman yang mudah dipelajari untuk komputasi numerik.

🤖

Spark Mathics GenOff - Tutor Virtual Anda

Dasar-dasar GNU Octave untuk Pemula

Sebelum kita mulai dengan Metode Gauss, mari pahami dasar-dasar GNU Octave:

% Ini adalah komentar - teks setelah % tidak dijalankan

% Komentar berguna untuk menjelaskan kode

% Membuat variabel sangat mudah:

a = 5; % Menyimpan angka 5 ke variabel a

b = 10; % Menyimpan angka 10 ke variabel b

c = a + b; % Menjumlahkan a dan b, hasilnya 15

% Menampilkan hasil ke layar:

disp('Hasil penjumlahan:');

disp(c);

% Membuat matriks (kumpulan angka):

matriks = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; % Matriks 2x3

disp(matriks);

Penjelasan baris per baris:
• % = Tanda komentar, apapun setelahnya tidak dijalankan
• a = 5; = Menyimpan nilai 5 ke variabel bernama 'a'
• ; = Titik koma agar hasil tidak ditampilkan otomatis
• disp() = Fungsi untuk menampilkan hasil ke layar
• [1, 2, 3; 4, 5, 6] = Cara membuat matriks, koma = kolom baru, titik koma = baris baru

🔥 Latihan 1: Tulis Ulang Kode Dasar (Anti Copy-Paste)

TIPE: MENULIS MANUAL

Tulis ulang kode di atas dengan tepat. PERHATIAN: Copy-paste tidak diperbolehkan! Anda harus mengetik manual untuk belajar.

📖 Referensi Kode untuk Latihan 1

% Ini adalah komentar - teks setelah % tidak dijalankan
% Komentar berguna untuk menjelaskan kode

% Membuat variabel sangat mudah:
a = 5; % Menyimpan angka 5 ke variabel a
b = 10; % Menyimpan angka 10 ke variabel b
c = a + b; % Menjumlahkan a dan b, hasilnya 15

% Menampilkan hasil ke layar:
disp('Hasil penjumlahan:');
disp(c);

% Membuat matriks (kumpulan angka):
matriks = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; % Matriks 2x3
disp(matriks);

✅ Sedang mengetik manual - Bagus!

💡 Bantuan:
• Mulai dengan baris komentar menggunakan %
• Jangan lupa titik koma (;) setelah setiap statement
• Gunakan tanda kutip tunggal untuk string: 'teks'
• Matriks menggunakan kurung siku [] dengan koma untuk kolom, titik koma untuk baris
• Setiap variabel harus diakhiri dengan ; untuk menyembunyikan output
• Spasi dalam operasi matematika opsional: a=5; atau a = 5; keduanya benar

Mendefinisikan Matriks Augmented

Sekarang kita akan belajar membuat matriks untuk sistem persamaan. Misalkan kita punya 3 persamaan dengan 3 variabel (x, y, z):

Sistem Persamaan Linear:

2x + 1y - 1z = 8

-3x - 1y + 2z = -11

-2x + 1y + 2z = -3

% LANGKAH 1: Buat matriks koefisien A

% A berisi angka-angka yang ada di depan x, y, z

A = [2, 1, -1; -3, -1, 2; -2, 1, 2];

disp('Matriks koefisien A:');

disp(A);

% LANGKAH 2: Buat vektor konstanta b

% b berisi angka-angka di sebelah kanan tanda =

b = [8; -11; -3];

disp('Vektor konstanta b:');

disp(b);

% LANGKAH 3: Gabungkan A dan b menjadi matriks augmented

% Matriks augmented = [A | b]

Ab = [A, b];

disp('Matriks Augmented [A|b]:');

disp(Ab);

Penjelasan detail:
• A = [2, 1, -1; -3, -1, 2; -2, 1, 2]; = Membuat matriks 3×3 dengan koefisien x, y, z
• b = [8; -11; -3]; = Membuat vektor kolom (pakai titik koma untuk baris baru)
• [A, b] = Menggabungkan matriks A dengan vektor b secara horizontal
• disp() = Menampilkan hasil agar kita bisa melihatnya
• PENTING: Setiap statement harus diakhiri titik koma (;) untuk syntax yang benar

🔥 Latihan 2: Buat Matriks Sendiri

TIPE: MEMBUAT SENDIRI

Buat kode untuk sistem persamaan berikut:

Sistem Persamaan:

1x + 2y + 3z = 14

2x - 1y + 1z = 5

3x + 1y - 1z = 2

📖 Format Kode yang Diharapkan

% Buat matriks koefisien A
A = [koef_x_pers1, koef_y_pers1, koef_z_pers1;koef_x_pers2, koef_y_pers2, koef_z_pers2; koef_x_pers3, koef_y_pers3, koef_z_pers3];

% Buat vektor konstanta b
b = [konstanta_pers1; konstanta_pers2; konstanta_pers3];

% Gabungkan menjadi matriks augmented
Ab = [A, b];

% Tampilkan hasil
disp('Matriks A:'); disp(A);
disp('Vektor b:'); disp(b);
disp('Matriks Augmented:'); disp(Ab);

Tulis kode untuk membuat matriks A, vektor b, dan matriks augmented Ab!

💡 Bantuan:
• Matriks A berisi koefisien: [1, 2, 3; 2, -1, 1; 3, 1, -1]
• Vektor b berisi konstanta: [14; 5; 2] (gunakan titik koma untuk kolom)
• Matriks augmented: Ab = [A, b]
• Jangan lupa disp() untuk menampilkan hasil
• Setiap statement harus diakhiri dengan ; (titik koma)

Eliminasi Maju - Membuat Segitiga Atas

Sekarang kita akan mengubah matriks agar bagian bawah diagonal utama menjadi nol (bentuk segitiga atas):

Tujuan Eliminasi: Mengubah matriks menjadi bentuk segitiga atas
dimana semua elemen di bawah diagonal utama = 0

% ELIMINASI KOLOM 1 (membuat elemen di bawah A(1,1) = 0) 

% Langkah 2.1: Hitung faktor untuk baris 2 

factor21 = Ab(2,1) / Ab(1,1); 

disp(['Faktor untuk baris 2: ', num2str(factor21)]); 

% Langkah 2.2: Kurangi baris 2 dengan kelipatan baris 1 

Ab(2,:) = Ab(2,:) - factor21 * Ab(1,:); 

disp('Setelah eliminasi elemen (2,1):'); 

disp(Ab); 

% Langkah 2.3: Hitung faktor untuk baris 3 

factor31 = Ab(3,1) / Ab(1,1); 

disp(['Faktor untuk baris 3: ', num2str(factor31)]); 

% Langkah 2.4: Kurangi baris 3 dengan kelipatan baris 1 

Ab(3,:) = Ab(3,:) - factor31 * Ab(1,:); 

disp('Setelah eliminasi kolom 1 selesai:'); 

disp(Ab);

Penjelasan koding eliminasi maju:
• factor21 = Ab(2,1) / Ab(1,1); = Menghitung faktor untuk eliminasi baris 2
• Ab(2,1) = Mengambil elemen baris 2, kolom 1 dari matriks Ab
• Ab(2,:) = Mengambil seluruh baris 2 (: artinya semua kolom)
• num2str() = Mengubah angka menjadi teks agar bisa ditampilkan dengan disp
• factor21 * Ab(1,:) = Mengalikan seluruh baris 1 dengan faktor eliminasi

🔥 Latihan 3: Tulis Kode Eliminasi

TIPE: MEMBUAT SENDIRI

Tulis kode untuk melakukan eliminasi kolom 2 (membuat Ab(3,2) = 0). Gunakan matriks Ab yang sudah diproses dari langkah sebelumnya.

📖 Pola Eliminasi Kolom 2

% Eliminasi kolom 2 - mirip dengan kolom 1
% Hitung faktor untuk membuat Ab(3,2) = 0
factor32 = Ab(3,2) / Ab(2,2);

% Tampilkan faktor
disp(['Faktor untuk baris 3, kolom 2: ', num2str(factor32)]);

% Update baris 3
Ab(3,:) = Ab(3,:) - factor32 * Ab(2,:);

% Tampilkan hasil
disp('Setelah eliminasi kolom 2:');
disp(Ab);

💡 Bantuan:
• Faktor untuk eliminasi kolom 2: factor32 = Ab(3,2) / Ab(2,2);
• Update baris 3: Ab(3,:) = Ab(3,:) - factor32 * Ab(2,:);
• Tampilkan faktor dan hasil dengan disp()
• Jangan lupa num2str() untuk menggabung teks dan angka
• Setiap statement harus diakhiri dengan ; (titik koma)

Substitusi Mundur - Mencari Solusi

Setelah matriks berbentuk segitiga atas, kita gunakan substitusi mundur untuk mencari nilai x, y, z:

Rumus Substitusi Mundur:
x_n = b_n' / a_nn''
x_i = (b_i' - Σ a_ij' × x_j) / a_ii'

% SUBSTITUSI MUNDUR - mencari nilai x, y, z 

% Langkah 4.1: Siapkan tempat untuk menyimpan jawaban 

n = size(Ab, 1);    % n = jumlah baris (3) 

x = zeros(n, 1);    % Buat vektor kosong untuk jawaban 

% Langkah 4.2: Cari z (variabel terakhir) dulu 

% Dari baris terakhir: Ab(3,3)*z = Ab(3,4) 

x(n) = Ab(n, n+1) / Ab(n, n); 

disp(['z = ', num2str(x(n))]); 

% Langkah 4.3: Cari y dan x menggunakan loop mundur 

for i = n-1:-1:1    % Loop dari baris n-1 sampai 1 (mundur) 

    sum_ax = 0;     % Variabel untuk menyimpan penjumlahan 

    % Hitung kontribusi variabel yang sudah diketahui 

    for j = i+1:n 

        sum_ax = sum_ax + Ab(i, j) * x(j); 

    end 

    % Hitung nilai variabel ke-i 

    x(i) = (Ab(i, n+1) - sum_ax) / Ab(i, i); 

    % Tampilkan hasilnya 

    if i == 2 

        disp(['y = ', num2str(x(i))]); 

    elseif i == 1 

        disp(['x = ', num2str(x(i))]); 

    end 

end 

disp('Solusi lengkap sistem persamaan:'); 

disp(['x = ', num2str(x(1))]); 

disp(['y = ', num2str(x(2))]); 

disp(['z = ', num2str(x(3))]);

Penjelasan koding substitusi mundur:
• n = size(Ab, 1); = Mengambil jumlah baris matriks Ab
• x = zeros(n, 1); = Membuat vektor kosong berisi nol untuk menyimpan solusi
• x(n) = Ab(n, n+1) / Ab(n, n); = Mencari variabel terakhir (z) dari baris terakhir
• for i = n-1:-1:1 = Loop mundur dari baris ke-(n-1) sampai baris 1
• x(i) = (Ab(i, n+1) - sum_ax) / Ab(i, i); = Rumus substitusi mundur

🔥 Latihan 4: Tulis Ulang Kode Substitusi Mundur (Anti Copy-Paste)

TIPE: MENULIS MANUAL

Tulis ulang kode substitusi mundur di atas. Copy-paste tidak diperbolehkan! Perhatikan loop dan kondisi if-elseif!

📖 Referensi Substitusi Mundur

% SUBSTITUSI MUNDUR - mencari nilai x, y, z

% Langkah 4.1: Siapkan tempat untuk menyimpan jawaban
n = size(Ab, 1); % n = jumlah baris (3)
x = zeros(n, 1); % Buat vektor kosong untuk jawaban

% Langkah 4.2: Cari z (variabel terakhir) dulu
% Dari baris terakhir: Ab(3,3)*z = Ab(3,4)
x(n) = Ab(n, n+1) / Ab(n, n);
disp(['z = ', num2str(x(n))]);

% Langkah 4.3: Cari y dan x menggunakan loop mundur
for i = n-1:-1:1 % Loop dari baris n-1 sampai 1 (mundur)
    sum_ax = 0; % Variabel untuk menyimpan penjumlahan

    % Hitung kontribusi variabel yang sudah diketahui
    for j = i+1:n
        sum_ax = sum_ax + Ab(i, j) * x(j);
    end

    % Hitung nilai variabel ke-i
    x(i) = (Ab(i, n+1) - sum_ax) / Ab(i, i);

    % Tampilkan hasilnya
    if i == 2
        disp(['y = ', num2str(x(i))]);
    elseif i == 1
        disp(['x = ', num2str(x(i))]);
    end
end

disp('Solusi lengkap sistem persamaan:');
disp(['x = ', num2str(x(1))]);
disp(['y = ', num2str(x(2))]);
disp(['z = ', num2str(x(3))]);

✅ Sedang mengetik manual - Excellent!

💡 Bantuan:
• n = size(Ab, 1); untuk mengambil jumlah baris
• x = zeros(n, 1); untuk membuat vektor kosong
• Loop mundur: for i = n-1:-1:1
• Loop dalam: for j = i+1:n
• Rumus: x(i) = (Ab(i, n+1) - sum_ax) / Ab(i, i);
• Gunakan if i == 2 untuk cek variabel y, elseif i == 1 untuk x

Verifikasi Hasil - Memastikan Solusi Benar

Setelah mendapat solusi x, y, z, kita harus memverifikasi bahwa solusi tersebut benar dengan menguji apakah A×x = b:

Verifikasi: A × x = b
Jika ||A×x - b|| ≈ 0, maka solusi benar

check = A * x; 

error_diff = check - b; 

tolerance = 1e-10; 

is_correct = all(abs(error_diff) < tolerance); 

if is_correct 

    disp('✅ VERIFIKASI BERHASIL: Solusi memenuhi A*x = b'); 

else 

    disp('❌ VERIFIKASI GAGAL: Solusi tidak memenuhi A*x = b'); 

end 

norm_error = norm(error_diff); 

disp(['Norma error: ', num2str(norm_error)]);

Penjelasan koding verifikasi:
• check = A * x; = Mengalikan matriks A dengan vektor solusi x
• error_diff = check - b; = Menghitung selisih antara A×x dengan b
• tolerance = 1e-10; = Menetapkan toleransi error (1×10^-10)
• all(abs(error_diff) < tolerance) = Mengecek apakah semua elemen error lebih kecil dari toleransi
• norm(error_diff) = Menghitung norma error untuk mengukur tingkat akurasi

🔥 Latihan 5: Tulis Ulang Kode Verifikasi (Anti Copy-Paste)

TIPE: MENULIS MANUAL

Tulis ulang kode verifikasi di atas tanpa komentar %. Copy-paste tidak diperbolehkan! Fokus pada kode dasar saja!

📖 Referensi Verifikasi

check = A * x;
error_diff = check - b;
tolerance = 1e-10;
is_correct = all(abs(error_diff) < tolerance);

if is_correct
disp('✅ VERIFIKASI BERHASIL: Solusi memenuhi A*x = b');
else
disp('❌ VERIFIKASI GAGAL: Solusi tidak memenuhi A*x = b');
end

norm_error = norm(error_diff);
disp(['Norma error: ', num2str(norm_error)]);

✅ Sedang mengetik manual - Perfect!

💡 Bantuan:
• check = A * x; untuk menghitung A kali x
• error_diff = check - b; untuk menghitung selisih
• tolerance = 1e-10; untuk toleransi error
• is_correct = all(abs(error_diff) < tolerance); untuk cek semua elemen
• Gunakan if-else-end untuk menampilkan hasil verifikasi
• norm_error = norm(error_diff); untuk menghitung norma error

📋 Kode Lengkap Metode Gauss & Instruksi Testing

🚀 Kode Lengkap GNU Octave - Siap Copy ke Software!

Berikut adalah kode lengkap yang bisa langsung dicopy dan dijalankan di GNU Octave di laptop Anda:

% ========================================

% METODE ELIMINASI GAUSS LENGKAP

% Created by SparkMathics Genie

% ========================================

clear; clc;  % Bersihkan workspace dan layar

% Sistem Persamaan Linear:

% 2x + 1y - 1z = 8

% -3x - 1y + 2z = -11

% -2x + 1y + 2z = -3

disp('=== METODE ELIMINASI GAUSS ===');

disp('');

% LANGKAH 1: Definisi matriks

A = [2, 1, -1; -3, -1, 2; -2, 1, 2];

b = [8; -11; -3];

Ab = [A, b];

disp('Matriks koefisien A:');

disp(A);

disp('Vektor konstanta b:');

disp(b);

disp('Matriks Augmented [A|b]:');

disp(Ab);

disp('');

% LANGKAH 2: Eliminasi Maju (Forward Elimination)

disp('=== ELIMINASI MAJU ===');

% Eliminasi kolom 1

factor21 = Ab(2,1) / Ab(1,1);

factor31 = Ab(3,1) / Ab(1,1);

disp(['Faktor eliminasi baris 2: ', num2str(factor21)]);

disp(['Faktor eliminasi baris 3: ', num2str(factor31)]);

Ab(2,:) = Ab(2,:) - factor21 * Ab(1,:);

Ab(3,:) = Ab(3,:) - factor31 * Ab(1,:);

disp('Setelah eliminasi kolom 1:');

disp(Ab);

disp('');

% Eliminasi kolom 2

factor32 = Ab(3,2) / Ab(2,2);

disp(['Faktor eliminasi baris 3, kolom 2: ', num2str(factor32)]);

Ab(3,:) = Ab(3,:) - factor32 * Ab(2,:);

disp('Setelah eliminasi kolom 2 (bentuk segitiga atas):');

disp(Ab);

disp('');

% LANGKAH 3: Substitusi Mundur (Back Substitution)

disp('=== SUBSTITUSI MUNDUR ===');

n = size(Ab, 1);

x = zeros(n, 1);

% Cari variabel terakhir (z)

x(n) = Ab(n, n+1) / Ab(n, n);

disp(['z = ', num2str(x(n))]);

% Cari variabel lainnya secara mundur

for i = n-1:-1:1

    sum_ax = 0;

    for j = i+1:n

        sum_ax = sum_ax + Ab(i, j) * x(j);

    end

    x(i) = (Ab(i, n+1) - sum_ax) / Ab(i, i);

    if i == 2

        disp(['y = ', num2str(x(i))]);

    elseif i == 1

        disp(['x = ', num2str(x(i))]);

    end

end

disp('');

disp('=== SOLUSI AKHIR ===');

disp(['x = ', num2str(x(1))]);

disp(['y = ', num2str(x(2))]);

disp(['z = ', num2str(x(3))]);

% LANGKAH 4: VERIFIKASI SOLUSI

disp('');

disp('=== VERIFIKASI SOLUSI ===');

check = A * x;

disp('A * x = ');

disp(check);

disp('b = ');

disp(b);

disp('Apakah A*x = b? (seharusnya TRUE)');

disp(abs(check - b) < 1e-10);

if all(abs(check - b) < 1e-10)

    disp('✅ Solusi memenuhi A*x = b.');

else

    disp('❌ Solusi TIDAK memenuhi A*x = b. Periksa kembali perhitungan.');

end

disp('Selisih error (A*x - b):');

disp(check - b);

disp('');

disp('=== PROSES SELESAI ===');

🧪 Cara Testing di GNU Octave (Laptop/Desktop)

Download GNU Octave: Kunjungi octave.org/download dan install di laptop Anda
Buka GNU Octave: Jalankan aplikasi GNU Octave setelah instalasi selesai
Copy Kode: Klik tombol "Copy Kode Lengkap" di atas untuk menyalin seluruh kode
Paste ke Octave: Paste kode di Command Window GNU Octave dan tekan Enter
Lihat Hasil: Program akan menampilkan setiap tahap eliminasi Gauss dan solusi akhir
Eksperimen: Ubah nilai matriks A dan b untuk mencoba sistem persamaan yang berbeda

✅ Hasil yang Diharapkan:
Program akan menampilkan:
• Matriks awal dan augmented
• Proses eliminasi step-by-step
• Hasil substitusi mundur
• Solusi akhir: x = 2, y = 3, z = 1
• Verifikasi bahwa solusi benar dengan pesan konfirmasi
• Selisih error yang seharusnya sangat kecil (mendekati nol)

⚠️ Tips Troubleshooting:
• Jika ada error "syntax error", periksa titik koma (;) di setiap akhir statement
• Jika matriks tidak terbentuk dengan benar, periksa tanda koma dan titik koma
• Pastikan tidak ada spasi ekstra dalam penamaan variabel
• Gunakan clear; clc; di awal untuk membersihkan workspace
• Jika verifikasi menunjukkan FALSE, periksa kembali perhitungan eliminasi

Kontrol Audio

📊 Progress Pembelajaran

📚 Teori Metode Gauss 🔊

Pengenalan Metode Eliminasi Gauss

Contoh Sistem Persamaan Linear:

Langkah-langkah Metode Gauss

Implementasi di GNU Octave

💻 Praktik Koding Step-by-Step untuk Pemula

🎯 Panduan untuk Pemula

Spark Mathics GenOff - Tutor Virtual Anda

Dasar-dasar GNU Octave untuk Pemula 🔊

🔥 Latihan 1: Tulis Ulang Kode Dasar (Anti Copy-Paste)

Mendefinisikan Matriks Augmented 🔊

Sistem Persamaan Linear:

🔥 Latihan 2: Buat Matriks Sendiri

Eliminasi Maju - Membuat Segitiga Atas 🔊

🔥 Latihan 3: Tulis Kode Eliminasi

Substitusi Mundur - Mencari Solusi 🔊

🔥 Latihan 4: Tulis Ulang Kode Substitusi Mundur (Anti Copy-Paste)

Verifikasi Hasil - Memastikan Solusi Benar 🔊

🔥 Latihan 5: Tulis Ulang Kode Verifikasi (Anti Copy-Paste)

📋 Kode Lengkap Metode Gauss & Instruksi Testing

🚀 Kode Lengkap GNU Octave - Siap Copy ke Software!

🧪 Cara Testing di GNU Octave (Laptop/Desktop)

📚 Teori Metode Gauss

Dasar-dasar GNU Octave untuk Pemula

Mendefinisikan Matriks Augmented

Eliminasi Maju - Membuat Segitiga Atas

Substitusi Mundur - Mencari Solusi

Verifikasi Hasil - Memastikan Solusi Benar