Distribusi Diskret

Bernoulli, Binomial, dan Trinomial

Distribusi Bernoulli

Pengertian

Distribusi Bernoulli adalah distribusi probabilitas diskret dari peubah acak yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil: "sukses" (bernilai 1) dengan probabilitas \(p\) dan "gagal" (bernilai 0) dengan probabilitas \(q = 1-p\). Distribusi ini dinamai menurut matematikawan Swiss, Jacob Bernoulli.

Penjelasan Intuitif

Bayangkan Anda melempar koin sekali. Ada dua kemungkinan hasil: kepala atau ekor. Jika kita menganggap munculnya kepala sebagai "sukses" (1) dan ekor sebagai "gagal" (0), maka percobaan sederhana ini adalah contoh sempurna dari distribusi Bernoulli.

Parameter \(p\) menunjukkan seberapa besar kemungkinan sukses - untuk koin yang adil, \(p = 0.5\). Distribusi Bernoulli adalah blok bangunan dasar untuk distribusi diskret lainnya seperti Binomial dan merupakan kasus khusus dari distribusi Binomial dengan \(n = 1\).

Eksperimen Bernoulli adalah percobaan acak dengan karakteristik sebagai berikut:

  • Percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal
  • Probabilitas sukses \(p\) konstan untuk setiap percobaan
  • Percobaan bersifat independen

Contoh percobaan Bernoulli dalam kehidupan sehari-hari:

  • Pelemparan koin (hasil: kepala/ekor)
  • Kelahiran bayi (hasil: laki-laki/perempuan)
  • Jawaban benar/salah pada soal pilihan ganda
  • Keberhasilan vaksin (pasien kebal/tidak kebal)
  • Konversi penjualan (pengunjung membeli/tidak membeli)

Catatan Penting

Istilah "sukses" dan "gagal" hanya label dan tidak mengandung makna positif atau negatif. Misalnya, dalam studi efek samping obat, "sukses" bisa berarti pasien mengalami efek samping (hasil yang tidak diinginkan).

Yang penting adalah kita mendefinisikan dengan jelas peristiwa mana yang dianggap sebagai "sukses" (1) dan mana yang "gagal" (0).

Rumus Matematis

Fungsi massa probabilitas (PMF) dari peubah acak Bernoulli \(X\) adalah:

\[ P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x} \text{ untuk } x \in \{0, 1\} \]

Memahami Rumus

Rumus di atas mungkin terlihat rumit, tetapi sebenarnya sangat sederhana:

  • Jika \(x = 1\) (sukses), maka \(P(X = 1) = p^1 \cdot (1-p)^0 = p\)
  • Jika \(x = 0\) (gagal), maka \(P(X = 0) = p^0 \cdot (1-p)^1 = 1-p\)

Jadi rumus tersebut hanya cara ringkas untuk mengatakan: "Jika kita mendapatkan sukses, probabilitasnya adalah \(p\), dan jika kita mendapatkan gagal, probabilitasnya adalah \(1-p\)".

Atau dapat ditulis sebagai:

\[ P(X = x) = \begin{cases} p, & \text{jika } x = 1 \\ 1-p, & \text{jika } x = 0 \end{cases} \]

Nilai ekspektasi (mean) dari distribusi Bernoulli:

\[ E(X) = p \]

Arti Mean

Mean atau nilai ekspektasi \(E(X) = p\) dapat diinterpretasikan sebagai:

  • Rata-rata hasil jangka panjang dari banyak percobaan Bernoulli
  • Proporsi sukses yang diharapkan dalam banyak percobaan

Contoh: Jika \(p = 0.7\), maka jika kita melakukan percobaan Bernoulli berulang kali, kita mengharapkan sekitar 70% percobaan akan menghasilkan sukses.

Variansi dari distribusi Bernoulli:

\[ Var(X) = p(1-p) \]

Arti Variansi

Variansi \(Var(X) = p(1-p)\) mengukur seberapa jauh hasil individual cenderung menyimpang dari mean. Beberapa sifat penting:

  • Variansi maksimum terjadi saat \(p = 0.5\), yaitu \(Var(X) = 0.25\)
  • Variansi mendekati 0 saat \(p\) mendekati 0 atau 1
  • Semakin kecil variansi, semakin dapat diprediksi hasil percobaan

Jika \(p\) sangat kecil (mendekati 0) atau sangat besar (mendekati 1), hasil hampir selalu sama, sehingga variansinya kecil. Jika \(p = 0.5\), ketidakpastian maksimum, sehingga variansinya maksimum.

Simulasi Percobaan Bernoulli

Petunjuk Simulasi

Gunakan slider untuk mengatur nilai \(p\) (probabilitas sukses) dan jumlah percobaan. Kemudian klik "Jalankan Simulasi" untuk melihat hasil percobaan acak berdasarkan parameter yang Anda tentukan.

Perhatikan bagaimana proporsi sukses dalam simulasi mendekati nilai \(p\) yang Anda pilih ketika jumlah percobaan semakin besar. Ini adalah ilustrasi dari Hukum Bilangan Besar.

0.5

Hasil Percobaan

Hasil akan ditampilkan di sini...

Statistik

Jumlah sukses: 0

Proporsi sukses: 0

Mean teoretis: 0.5

Variansi teoretis: 0.25

Interpretasi Hasil

Bandingkan proporsi sukses dari simulasi dengan mean teoretis (\(p\)). Semakin banyak percobaan, proporsi sukses seharusnya semakin mendekati nilai \(p\).

Grafik batang menunjukkan frekuensi hasil 0 (gagal) dan 1 (sukses). Untuk \(p = 0.5\), kita mengharapkan jumlah yang hampir sama, sedangkan untuk \(p\) yang lebih besar dari 0.5, sukses akan lebih sering terjadi daripada gagal.

Latihan Soal - Distribusi Bernoulli

Soal 1: Probabilitas Dasar

Seorang pemanah memiliki probabilitas mengenai sasaran dalam setiap tembakan sebesar 0,7. Jika pemanah tersebut melakukan satu kali tembakan, hitunglah:

  1. Probabilitas pemanah tersebut mengenai sasaran
  2. Probabilitas pemanah tersebut tidak mengenai sasaran
  3. Nilai harapan (mean) dari percobaan ini
  4. Variansi dari percobaan ini
Pembahasan:

Dalam kasus ini, kita memiliki percobaan Bernoulli dengan probabilitas sukses \(p = 0,7\). Misalkan \(X\) adalah peubah acak yang bernilai 1 jika pemanah mengenai sasaran (sukses) dan bernilai 0 jika tidak mengenai sasaran (gagal).

  1. Probabilitas pemanah tersebut mengenai sasaran adalah:

    \(P(X = 1) = p = 0,7\)

  2. Probabilitas pemanah tersebut tidak mengenai sasaran adalah:

    \(P(X = 0) = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3\)

  3. Nilai harapan (mean) dari percobaan Bernoulli adalah \(E(X) = p\), sehingga:

    \(E(X) = 0,7\)

  4. Variansi dari percobaan Bernoulli adalah \(Var(X) = p(1-p)\), sehingga:

    \(Var(X) = 0,7 \times 0,3 = 0,21\)

Interpretasi:
  • Mean 0,7 berarti jika pemanah melakukan banyak tembakan, sekitar 70% tembakan akan mengenai sasaran.
  • Variansi 0,21 menunjukkan seberapa besar variabilitas hasil. Karena \(p\) tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, variabilitasnya cukup tinggi.

Soal 2: Penerapan Praktis

Sebuah tes diagnostik cepat untuk penyakit tertentu memiliki sensitivitas 0,85 (probabilitas hasil positif jika pasien benar-benar sakit). Seorang pasien dengan gejala yang mencurigakan menjalani tes ini.

  1. Jika kita mendefinisikan "sukses" sebagai hasil tes positif, berapa probabilitas pasien mendapatkan hasil tes positif jika pasien benar-benar sakit?
  2. Berapa probabilitas pasien mendapatkan hasil tes negatif padahal pasien sebenarnya sakit (hasil negatif palsu)?
  3. Jika tes ini dilakukan pada 20 pasien yang semuanya sakit, berapa nilai harapan (rata-rata) jumlah hasil tes yang positif?
Pembahasan:

Dalam kasus ini, kita memiliki percobaan Bernoulli dengan \(p = 0,85\) (sensitivitas tes). Misalkan \(X\) adalah peubah acak yang bernilai 1 jika hasil tes positif (sukses) dan bernilai 0 jika hasil tes negatif (gagal).

  1. Probabilitas pasien mendapatkan hasil tes positif jika pasien benar-benar sakit adalah sensitivitas tes:

    \(P(X = 1) = p = 0,85\)

  2. Probabilitas pasien mendapatkan hasil negatif padahal sebenarnya sakit (negatif palsu) adalah:

    \(P(X = 0) = 1 - p = 1 - 0,85 = 0,15\)

  3. Untuk 20 pasien yang semuanya sakit, kita menggunakan nilai harapan distribusi Binomial dengan \(n = 20\) dan \(p = 0,85\):

    \(E(X) = n \times p = 20 \times 0,85 = 17\)

    Artinya, dari 20 pasien yang sakit, kita harapkan sekitar 17 pasien akan mendapatkan hasil tes positif dan sekitar 3 pasien akan mendapatkan hasil negatif palsu.

Catatan Penting:

Perhatikan bahwa untuk pertanyaan ketiga, kita beralih dari percobaan Bernoulli tunggal (untuk satu pasien) ke distribusi Binomial (untuk 20 pasien). Ini menunjukkan bagaimana distribusi Bernoulli menjadi dasar untuk distribusi Binomial.

Juga perlu dicatat bahwa dalam praktik klinis, selain sensitivitas, spesifisitas tes juga penting (probabilitas hasil negatif jika pasien sebenarnya tidak sakit).

Soal 3: Analisis Lanjutan

Sebuah perusahaan e-commerce mencatat bahwa 30% pengunjung situs web mereka melakukan pembelian. Perusahaan tersebut ingin meningkatkan tingkat konversi dengan menawarkan diskon 10% kepada pengunjung baru. Berdasarkan pengujian awal, probabilitas pengunjung baru yang melakukan pembelian dengan diskon tersebut adalah 0,45.

  1. Hitunglah peningkatan persentase tingkat konversi setelah penerapan diskon.
  2. Jika variansi distribusi Bernoulli untuk konversi tanpa diskon adalah \(V_1\) dan dengan diskon adalah \(V_2\), bagaimana perbandingan kedua variansi tersebut?
  3. Jika perusahaan mendapat 100 pengunjung baru per hari, berapa peningkatan jumlah penjualan harian yang diharapkan setelah penerapan diskon?
Pembahasan:

Kita memiliki dua percobaan Bernoulli:

  • Konversi tanpa diskon: \(p_1 = 0,30\)
  • Konversi dengan diskon: \(p_2 = 0,45\)
  1. Peningkatan persentase tingkat konversi:

    Peningkatan absolut = \(p_2 - p_1 = 0,45 - 0,30 = 0,15\) atau 15 poin persentase

    Peningkatan relatif = \(\frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\% = \frac{0,45 - 0,30}{0,30} \times 100\% = \frac{0,15}{0,30} \times 100\% = 50\%\)

    Jadi, tingkat konversi meningkat sebesar 15 poin persentase atau meningkat 50% dari nilai awalnya.

  2. Variansi distribusi Bernoulli:

    \(V_1 = p_1(1-p_1) = 0,30 \times 0,70 = 0,21\)

    \(V_2 = p_2(1-p_2) = 0,45 \times 0,55 = 0,2475\)

    Perbandingan: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{0,2475}{0,21} \approx 1,18\)

    Variansi dengan diskon sekitar 1,18 kali lebih besar dari variansi tanpa diskon.

  3. Peningkatan jumlah penjualan harian:

    Jumlah penjualan tanpa diskon = \(100 \times 0,30 = 30\) penjualan

    Jumlah penjualan dengan diskon = \(100 \times 0,45 = 45\) penjualan

    Peningkatan = \(45 - 30 = 15\) penjualan tambahan per hari

Analisis Bisnis:

Penerapan diskon 10% menghasilkan peningkatan tingkat konversi yang signifikan (50% lebih tinggi dari sebelumnya), yang menghasilkan 15 penjualan tambahan per hari.

Namun, untuk menentukan apakah strategi ini menguntungkan, perusahaan perlu membandingkan peningkatan pendapatan dari penjualan tambahan dengan biaya memberikan diskon. Jika nilai rata-rata pesanan dan margin keuntungan diketahui, analisis ROI (Return on Investment) lebih lengkap dapat dilakukan.

Variansi yang lebih tinggi dengan diskon (\(V_2 > V_1\)) menunjukkan bahwa hasil penjualan harian mungkin lebih bervariasi, yang perlu dipertimbangkan dalam perencanaan inventaris dan operasional.

Distribusi Binomial

Pengertian

Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang menggambarkan jumlah sukses dalam sejumlah \(n\) percobaan Bernoulli yang identik dan independen. Setiap percobaan memiliki kemungkinan sukses yang sama sebesar \(p\).

Hubungan dengan Distribusi Bernoulli

Distribusi Binomial pada dasarnya adalah hasil dari melakukan beberapa percobaan Bernoulli dan menghitung jumlah total sukses:

  • Distribusi Bernoulli adalah kasus khusus dari Binomial dengan \(n = 1\) (satu percobaan)
  • Distribusi Binomial adalah jumlah dari \(n\) variabel acak Bernoulli yang independen
  • Jika \(X_1, X_2, ..., X_n\) adalah variabel acak Bernoulli independen dengan parameter \(p\), maka \(X = X_1 + X_2 + ... + X_n\) memiliki distribusi Binomial dengan parameter \(n\) dan \(p\)

Karakteristik distribusi Binomial:

  • Terdapat sejumlah \(n\) percobaan yang identik
  • Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal
  • Probabilitas sukses \(p\) konstan untuk setiap percobaan
  • Percobaan bersifat independen satu sama lain
  • Peubah acak \(X\) menghitung jumlah sukses dalam \(n\) percobaan

Contoh penerapan distribusi Binomial:

  • Jumlah sisi kepala dalam 10 kali pelemparan koin
  • Jumlah produk cacat dalam sampel 100 produk
  • Jumlah jawaban benar dari 20 soal pilihan ganda yang dijawab secara acak
  • Jumlah pasien yang sembuh dari 50 pasien yang menerima pengobatan baru
  • Jumlah bola merah yang terambil dari 8 kali pengambilan bola dengan pengembalian

Mengidentifikasi Masalah Binomial

Untuk mengenali situasi yang mengikuti distribusi Binomial, periksa kondisi berikut:

  1. Jumlah percobaan (\(n\)) tetap dan diketahui di awal
  2. Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin (sukses/gagal)
  3. Probabilitas sukses \(p\) sama untuk semua percobaan
  4. Percobaan bersifat independen (hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lain)
  5. Yang ditanyakan adalah probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses

Jika kondisi 1-4 terpenuhi tetapi yang ditanyakan berbeda (misalnya, probabilitas mendapatkan paling banyak \(k\) sukses), kita masih menggunakan distribusi Binomial tetapi dengan perhitungan yang sedikit berbeda.

Rumus Matematis

Fungsi massa probabilitas (PMF) dari peubah acak Binomial \(X \sim B(n,p)\) adalah:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \text{ untuk } k = 0, 1, 2, \ldots, n \]

Penjelasan Intuisi Rumus

Rumus ini terdiri dari tiga bagian penting:

  1. \(\binom{n}{k}\) - Jumlah cara berbeda untuk memilih \(k\) percobaan yang berhasil dari total \(n\) percobaan
  2. \(p^k\) - Probabilitas mendapatkan sukses pada semua \(k\) percobaan yang dipilih
  3. \((1-p)^{n-k}\) - Probabilitas mendapatkan gagal pada semua \(n-k\) percobaan lainnya

Jadi rumus ini menghitung: "Dari semua kemungkinan cara mendapatkan \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan, berapa probabilitas total untuk mendapatkan tepat \(k\) sukses?"

Dimana \(\binom{n}{k}\) adalah koefisien binomial:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Koefisien Binomial

Koefisien binomial \(\binom{n}{k}\) menyatakan jumlah cara berbeda untuk memilih \(k\) objek dari \(n\) objek tanpa memperhatikan urutan.

Contoh: \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\)

Artinya, ada 10 cara berbeda untuk memilih 2 objek dari 5 objek. Dalam konteks Binomial, ini berarti ada 10 cara berbeda kejadian sukses dapat terjadi tepat 2 kali dalam 5 percobaan.

Nilai ekspektasi (mean) dari distribusi Binomial:

\[ E(X) = np \]

Arti Mean Binomial

Mean \(E(X) = np\) adalah nilai yang diharapkan atau rata-rata jumlah sukses dalam \(n\) percobaan. Ini memberikan perkiraan "pusat" distribusi.

Contoh: Jika kita melempar dadu adil 60 kali, mean jumlah kemunculan angka 6 adalah \(E(X) = 60 \times \frac{1}{6} = 10\). Artinya, rata-rata kita akan mendapatkan 10 kali angka 6.

Variansi dari distribusi Binomial:

\[ Var(X) = np(1-p) \]

Arti Variansi Binomial

Variansi \(Var(X) = np(1-p)\) mengukur seberapa tersebar data di sekitar mean. Beberapa hal penting:

  • Variansi meningkat seiring bertambahnya \(n\) (semakin banyak percobaan)
  • Untuk \(n\) tetap, variansi maksimum terjadi saat \(p = 0.5\)
  • Standar deviasi (akar dari variansi) menunjukkan deviasi "tipikal" dari mean

Distribusi dengan variansi kecil lebih "terpusat" di sekitar mean, sedangkan distribusi dengan variansi besar lebih "menyebar".

Visualisasi dan Simulasi Distribusi Binomial

Panduan Simulasi

Gunakan slider untuk mengatur nilai \(n\) (jumlah percobaan) dan \(p\) (probabilitas sukses). Kemudian:

  • Klik "Perbarui Distribusi" untuk melihat grafik distribusi probabilitas teoritis
  • Klik "Simulasi 1000 Percobaan" untuk menjalankan simulasi dan membandingkan hasilnya dengan distribusi teoritis

Perhatikan bagaimana bentuk distribusi berubah saat Anda mengubah parameter:

  • Saat \(p = 0.5\), distribusi simetris
  • Saat \(p < 0.5\), distribusi condong ke kanan (positively skewed)
  • Saat \(p > 0.5\), distribusi condong ke kiri (negatively skewed)
  • Saat \(n\) bertambah, distribusi menjadi lebih menyerupai distribusi normal (bell curve)
10
0.5

Distribusi Probabilitas

Grafik ini menunjukkan distribusi probabilitas teoretis. Setiap batang menunjukkan probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan.

Hasil Simulasi

Grafik ini menunjukkan frekuensi hasil dari 1000 simulasi percobaan. Seiring bertambahnya jumlah simulasi, distribusi frekuensi akan semakin mendekati distribusi probabilitas teoretis.

Statistik

Mean teoretis: 5

Variansi teoretis: 2.5

Mean dari simulasi: -

Variansi dari simulasi: -

Interpretasi Statistik

Bandingkan statistik simulasi dengan nilai teoretis:

  • Seiring bertambahnya jumlah simulasi, mean simulasi akan mendekati \(np\)
  • Variansi simulasi akan mendekati \(np(1-p)\)
  • Perbedaan antara hasil simulasi dan nilai teoretis menunjukkan variasi acak yang selalu terjadi dalam proses sampling

Ini adalah demonstrasi praktis dari Hukum Bilangan Besar dan Teorema Limit Pusat, konsep fundamental dalam teori probabilitas.

Contoh Kasus

Dalam ujian pilihan ganda dengan 10 soal dan 4 pilihan jawaban per soal, seorang mahasiswa menjawab secara acak. Berapa probabilitas mahasiswa tersebut menjawab benar tepat 3 soal?

Solusi:

  • n = 10 (jumlah soal)
  • p = 0.25 (probabilitas menjawab benar secara acak dengan 4 pilihan)
  • k = 3 (jumlah jawaban benar)

Probabilitas = \(\binom{10}{3} \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^7\) = 0.2503

Penerapan Praktis

Distribusi Binomial memiliki banyak aplikasi praktis dalam berbagai bidang:

  • Kontrol Kualitas: Menghitung probabilitas menemukan sejumlah produk cacat dalam sampel
  • Medis: Memprediksi jumlah pasien yang akan merespons positif terhadap pengobatan
  • Keuangan: Menganalisis kemungkinan sejumlah investasi yang berhasil dari portfolio
  • Asuransi: Memperkirakan jumlah klaim yang akan diterima dalam periode tertentu
  • Pemilu: Memperkirakan margin kesalahan dalam jajak pendapat

Latihan Soal - Distribusi Binomial

Soal 1: Probabilitas Dasar

Sebuah koin adil dilempar sebanyak 8 kali. Hitunglah probabilitas:

  1. Mendapatkan tepat 3 sisi kepala
  2. Mendapatkan paling banyak 2 sisi kepala
  3. Mendapatkan setidaknya 6 sisi kepala
  4. Mendapatkan antara 3 sampai 5 sisi kepala (inklusif)
Pembahasan:

Kita menggunakan distribusi Binomial dengan \(n = 8\) percobaan dan probabilitas sukses (sisi kepala) \(p = 0,5\).

  1. Probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala:

    \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{8-3}\)

    \(= \binom{8}{3} \cdot (0,5)^8\)

    \(= \frac{8!}{3!(8-3)!} \cdot (0,5)^8\)

    \(= \frac{8!}{3!5!} \cdot (0,5)^8\)

    \(= 56 \cdot (0,5)^8\)

    \(= 56 \cdot 0,00390625\)

    \(= 0,2188\)

  2. Probabilitas mendapatkan paling banyak 2 sisi kepala:

    \(P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)

    \(= \binom{8}{0} \cdot (0,5)^0 \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{1} \cdot (0,5)^1 \cdot (0,5)^7 + \binom{8}{2} \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^6\)

    \(= \binom{8}{0} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{1} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{2} \cdot (0,5)^8\)

    \(= (1 + 8 + 28) \cdot (0,5)^8\)

    \(= 37 \cdot 0,00390625\)

    \(= 0,1445\)

  3. Probabilitas mendapatkan setidaknya 6 sisi kepala:

    \(P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)\)

    \(= \binom{8}{6} \cdot (0,5)^6 \cdot (0,5)^2 + \binom{8}{7} \cdot (0,5)^7 \cdot (0,5)^1 + \binom{8}{8} \cdot (0,5)^8 \cdot (0,5)^0\)

    \(= \binom{8}{6} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{7} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{8} \cdot (0,5)^8\)

    \(= (28 + 8 + 1) \cdot (0,5)^8\)

    \(= 37 \cdot 0,00390625\)

    \(= 0,1445\)

  4. Probabilitas mendapatkan antara 3 sampai 5 sisi kepala (inklusif):

    \(P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\)

    \(= \binom{8}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^5 + \binom{8}{4} \cdot (0,5)^4 \cdot (0,5)^4 + \binom{8}{5} \cdot (0,5)^5 \cdot (0,5)^3\)

    \(= \binom{8}{3} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{4} \cdot (0,5)^8 + \binom{8}{5} \cdot (0,5)^8\)

    \(= (56 + 70 + 56) \cdot (0,5)^8\)

    \(= 182 \cdot 0,00390625\)

    \(= 0,7109\)

Catatan Penting:

Perhatikan simetri distribusi Binomial saat \(p = 0,5\):

  • Probabilitas mendapatkan paling banyak 2 sisi kepala = Probabilitas mendapatkan setidaknya 6 sisi kepala = 0,1445
  • Ini karena \(P(X \leq 2) = P(X \geq n-2) = P(X \geq 6)\) ketika \(p = 0,5\)
  • Secara umum, pada distribusi Binomial dengan \(p = 0,5\), \(P(X \leq k) = P(X \geq n-k)\) untuk setiap \(k\)

Soal 2: Aplikasi dalam Kontrol Kualitas

Sebuah pabrik elektronik memproduksi microchip dengan tingkat kecacatan 5%. Setiap microchip diperiksa secara independen dan diklasifikasikan sebagai "cacat" atau "tidak cacat". Jika sampel acak dari 20 microchip diambil:

  1. Berapa probabilitas tidak ada microchip yang cacat dalam sampel?
  2. Berapa probabilitas terdapat tepat 2 microchip cacat dalam sampel?
  3. Berapa probabilitas terdapat paling banyak 1 microchip cacat dalam sampel?
  4. Jika standar kualitas memerlukan bahwa tidak lebih dari 5% sampel yang cacat, berapa probabilitas bahwa sampel ini akan lolos standar kualitas?
Pembahasan:

Kita menggunakan distribusi Binomial dengan \(n = 20\) percobaan dan probabilitas sukses (microchip cacat) \(p = 0,05\).

  1. Probabilitas tidak ada microchip yang cacat dalam sampel:

    \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot (0,05)^0 \cdot (0,95)^{20}\)

    \(= 1 \cdot 1 \cdot (0,95)^{20}\)

    \(= (0,95)^{20}\)

    \(= 0,3585\) (35,85%)

  2. Probabilitas terdapat tepat 2 microchip cacat dalam sampel:

    \(P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot (0,05)^2 \cdot (0,95)^{18}\)

    \(= \frac{20!}{2!(20-2)!} \cdot (0,05)^2 \cdot (0,95)^{18}\)

    \(= 190 \cdot 0,0025 \cdot (0,95)^{18}\)

    \(= 190 \cdot 0,0025 \cdot 0,3774\)

    \(= 0,1795\) (17,95%)

  3. Probabilitas terdapat paling banyak 1 microchip cacat dalam sampel:

    \(P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\)

    \(= \binom{20}{0} \cdot (0,05)^0 \cdot (0,95)^{20} + \binom{20}{1} \cdot (0,05)^1 \cdot (0,95)^{19}\)

    \(= (0,95)^{20} + 20 \cdot 0,05 \cdot (0,95)^{19}\)

    \(= 0,3585 + 20 \cdot 0,05 \cdot 0,3774\)

    \(= 0,3585 + 0,3774\)

    \(= 0,7359\) (73,59%)

  4. Tidak lebih dari 5% sampel yang cacat berarti tidak lebih dari 1 microchip cacat dalam sampel 20 (karena 1/20 = 5%).

    Probabilitas bahwa sampel akan lolos standar kualitas = \(P(X \leq 1) = 0,7359\) (73,59%)

Interpretasi Praktis:

Hasil ini menunjukkan bahwa:

  • Ada peluang sekitar 36% bahwa sampel 20 microchip tidak akan mengandung cacat sama sekali
  • Ada peluang sekitar 18% bahwa sampel akan mengandung tepat 2 microchip cacat
  • Ada peluang sekitar 74% bahwa sampel akan lolos standar kualitas (tidak lebih dari 5% cacat)

Dalam kontrol kualitas, hasil ini dapat digunakan untuk merancang prosedur sampling dan kriteria penerimaan/penolakan yang optimal.

Soal 3: Analisis Lanjutan

Suatu vaksin memiliki efektivitas 80% dalam mencegah infeksi. Dalam sebuah rumah tangga dengan 6 orang yang divaksinasi, semuanya terpapar virus.

  1. Berapa probabilitas bahwa tepat 4 orang akan terhindar dari infeksi?
  2. Berapa probabilitas bahwa paling sedikit 5 orang akan terhindar dari infeksi?
  3. Berapa probabilitas bahwa lebih dari setengah anggota keluarga akan terinfeksi?
  4. Jika kita mendefinisikan "perlindungan keluarga yang baik" sebagai setidaknya 2/3 dari anggota keluarga terhindar dari infeksi, berapa probabilitas bahwa vaksinasi memberikan perlindungan keluarga yang baik?
Pembahasan:

Kita menggunakan distribusi Binomial dengan \(n = 6\) orang dan probabilitas sukses (terhindar dari infeksi) \(p = 0,8\).

  1. Probabilitas bahwa tepat 4 orang akan terhindar dari infeksi:

    \(P(X = 4) = \binom{6}{4} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{6-4}\)

    \(= \binom{6}{4} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^2\)

    \(= 15 \cdot 0,4096 \cdot 0,04\)

    \(= 15 \cdot 0,016384\)

    \(= 0,2458\) (24,58%)

  2. Probabilitas bahwa paling sedikit 5 orang akan terhindar dari infeksi:

    \(P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)\)

    \(= \binom{6}{5} \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^1 + \binom{6}{6} \cdot (0,8)^6 \cdot (0,2)^0\)

    \(= 6 \cdot (0,8)^5 \cdot 0,2 + 1 \cdot (0,8)^6 \cdot 1\)

    \(= 6 \cdot 0,32768 \cdot 0,2 + 0,262144\)

    \(= 0,393216 + 0,262144\)

    \(= 0,6554\) (65,54%)

  3. Lebih dari setengah anggota keluarga akan terinfeksi berarti kurang dari setengah akan terhindar dari infeksi. Dengan 6 anggota keluarga, ini berarti kurang dari 3 orang terhindar, atau 0, 1, atau 2 orang terhindar:

    \(P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)

    \(= \binom{6}{0} \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^6 + \binom{6}{1} \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^5 + \binom{6}{2} \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^4\)

    \(= 1 \cdot 1 \cdot 0,000064 + 6 \cdot 0,8 \cdot 0,00032 + 15 \cdot 0,64 \cdot 0,0016\)

    \(= 0,000064 + 0,001536 + 0,01536\)

    \(= 0,01696\) (1,696%)

  4. "Perlindungan keluarga yang baik" berarti setidaknya 2/3 dari anggota keluarga terhindar dari infeksi. Dengan 6 anggota keluarga, 2/3 dari 6 adalah 4, jadi setidaknya 4 orang harus terhindar:

    \(P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)\)

    \(= 0,2458 + 0,393216 + 0,262144\)

    \(= 0,9011\) (90,11%)

Interpretasi Klinis:

Hasil ini menunjukkan bahwa:

  • Ada peluang sekitar 90% bahwa vaksinasi akan memberikan "perlindungan keluarga yang baik"
  • Probabilitas bahwa lebih dari setengah anggota keluarga akan terinfeksi sangat kecil (hanya sekitar 1,7%)
  • Ada peluang sekitar 66% bahwa hampir semua anggota keluarga (5 atau 6 orang) akan terhindar dari infeksi

Temuan ini menekankan manfaat kolektif dari vaksinasi keluarga, di mana bahkan dengan efektivitas vaksin 80% (tidak sempurna), perlindungan keluarga secara keseluruhan masih sangat tinggi karena efek probabilistik.

Distribusi Trinomial

Pengertian

Distribusi Trinomial adalah perluasan dari distribusi Binomial di mana setiap percobaan memiliki tiga kemungkinan hasil yang saling eksklusif dengan probabilitas masing-masing \(p_1\), \(p_2\), dan \(p_3 = 1-p_1-p_2\).

Hubungan dengan Distribusi Binomial

Distribusi Trinomial memperluas konsep Binomial dari dua hasil menjadi tiga hasil yang mungkin:

  • Binomial: Setiap percobaan memiliki 2 hasil yang mungkin (sukses/gagal)
  • Trinomial: Setiap percobaan memiliki 3 hasil yang mungkin (hasil1/hasil2/hasil3)
  • Jika salah satu probabilitas dalam Trinomial adalah 0, distribusi menjadi Binomial

Distribusi Trinomial adalah kasus khusus dari distribusi Multinomial dengan \(k=3\) kategori.

Karakteristik distribusi Trinomial:

  • Terdapat sejumlah \(n\) percobaan yang identik
  • Setiap percobaan memiliki tiga kemungkinan hasil yang saling eksklusif
  • Probabilitas masing-masing hasil konstan untuk setiap percobaan
  • Percobaan bersifat independen satu sama lain
  • Peubah acak \(X_1\), \(X_2\), dan \(X_3\) menghitung jumlah kejadian masing-masing hasil, dengan \(X_1 + X_2 + X_3 = n\)

Visualisasi Konsep

Bayangkan pelemparan dadu yang hasilnya dikelompokkan menjadi tiga kategori:

  • Kategori 1: Angka 1-2 (probabilitas \(p_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\))
  • Kategori 2: Angka 3-4 (probabilitas \(p_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\))
  • Kategori 3: Angka 5-6 (probabilitas \(p_3 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\))

Jika dadu dilempar 10 kali, distribusi Trinomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat 3 kali kategori 1, 4 kali kategori 2, dan 3 kali kategori 3.

Contoh penerapan distribusi Trinomial:

  • Dalam pelemparan dadu, menghitung jumlah kemunculan angka 1-2, 3-4, dan 5-6 dalam 20 lemparan
  • Dalam survei pendapat, menghitung jumlah responden yang setuju, tidak setuju, dan netral
  • Dalam genetika, menghitung distribusi genotipe dalam keturunan (misalnya: AA, Aa, aa)
  • Dalam pemilihan umum, memprediksi jumlah pemilih untuk tiga kandidat berbeda
  • Dalam analisis pasar, mengestimasi pangsa pasar dari tiga produk kompetitif

Mengidentifikasi Masalah Trinomial

Untuk mengenali situasi yang mengikuti distribusi Trinomial, periksa kondisi berikut:

  1. Jumlah percobaan (\(n\)) tetap dan diketahui di awal
  2. Setiap percobaan memiliki tepat tiga hasil yang mungkin dan saling eksklusif
  3. Probabilitas masing-masing hasil (\(p_1\), \(p_2\), \(p_3\)) sama untuk semua percobaan
  4. Percobaan bersifat independen (hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lain)
  5. Jumlah ketiga probabilitas adalah 1: \(p_1 + p_2 + p_3 = 1\)
  6. Yang ditanyakan adalah probabilitas mendapatkan tepat \(k_1\) hasil pertama, \(k_2\) hasil kedua, dan \(k_3\) hasil ketiga

Rumus Matematis

Fungsi massa probabilitas (PMF) dari peubah acak Trinomial \((X_1, X_2, X_3)\) adalah:

\[ P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, X_3 = k_3) = \frac{n!}{k_1! k_2! k_3!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} p_3^{k_3} \]

Penjelasan Intuisi Rumus

Rumus ini mirip dengan distribusi Binomial, tetapi diperluas untuk tiga kategori:

  1. \(\frac{n!}{k_1! k_2! k_3!}\) - Jumlah cara berbeda untuk mendapatkan \(k_1\) hasil pertama, \(k_2\) hasil kedua, dan \(k_3\) hasil ketiga dalam \(n\) percobaan
  2. \(p_1^{k_1} p_2^{k_2} p_3^{k_3}\) - Probabilitas mendapatkan tepat \(k_1\) hasil pertama, \(k_2\) hasil kedua, dan \(k_3\) hasil ketiga dalam urutan tertentu

Koefisien multinomial \(\frac{n!}{k_1! k_2! k_3!}\) menghitung jumlah susunan berbeda yang mungkin, mirip dengan fungsi koefisien binomial dalam distribusi Binomial.

Di mana:

  • \(k_1 + k_2 + k_3 = n\)
  • \(p_1 + p_2 + p_3 = 1\)

Nilai ekspektasi (mean) dari distribusi Trinomial:

\[ E(X_1) = np_1, \quad E(X_2) = np_2, \quad E(X_3) = np_3 \]

Arti Mean

Mean atau nilai ekspektasi untuk masing-masing kategori menunjukkan jumlah hasil yang diharapkan dalam jangka panjang:

  • \(E(X_1) = np_1\) adalah jumlah rata-rata hasil pertama dalam \(n\) percobaan
  • \(E(X_2) = np_2\) adalah jumlah rata-rata hasil kedua dalam \(n\) percobaan
  • \(E(X_3) = np_3\) adalah jumlah rata-rata hasil ketiga dalam \(n\) percobaan

Selalu berlaku bahwa \(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = n\), sesuai dengan jumlah total percobaan.

Variansi dari distribusi Trinomial:

\[ Var(X_1) = np_1(1-p_1), \quad Var(X_2) = np_2(1-p_2), \quad Var(X_3) = np_3(1-p_3) \]

Kovariansi:

\[ Cov(X_i, X_j) = -np_i p_j \quad \text{untuk } i \neq j \]

Kovariansi Negatif

Perhatikan bahwa kovariansi antar kategori selalu bernilai negatif. Ini karena:

  • Jumlah total hasil selalu \(n\), sehingga ketika jumlah hasil dalam satu kategori meningkat, jumlah dalam kategori lain harus menurun
  • Kovariansi negatif menunjukkan hubungan terbalik: ketika \(X_i\) meningkat, \(X_j\) cenderung menurun
  • Semakin besar nilai \(n\) atau probabilitas \(p_i\) dan \(p_j\), semakin kuat kovariansi negatif

Ini adalah contoh ketergantungan yang muncul bahkan ketika percobaan individual bersifat independen.

Visualisasi dan Simulasi Distribusi Trinomial

Panduan Simulasi

Gunakan slider untuk mengatur nilai \(n\) (jumlah percobaan) dan probabilitas \(p_1\) dan \(p_2\). Nilai \(p_3\) akan dihitung otomatis sebagai \(p_3 = 1 - p_1 - p_2\).

Klik "Simulasi 1000 Percobaan" untuk menjalankan simulasi dan melihat distribusi hasil untuk ketiga kategori.

Perhatikan bagaimana:

  • Distribusi masing-masing kategori mirip dengan distribusi Binomial
  • Nilai mean simulasi mendekati nilai teoretis \(np_i\)
  • Ketika probabilitas semua kategori sama (\(p_1 = p_2 = p_3 = \frac{1}{3}\)), distribusi cenderung simetris
  • Ketika salah satu probabilitas jauh lebih besar dari yang lain, distribusi menjadi condong (skewed)
10
0.33
0.33
Probabilitas hasil ketiga (p₃): 0.34

Nilai p₃ dihitung otomatis sebagai p₃ = 1 - p₁ - p₂ untuk memastikan jumlah semua probabilitas sama dengan 1.

Hasil Simulasi

Hasil Pertama
Hasil Kedua
Hasil Ketiga

Interpretasi Grafik

Ketiga grafik menunjukkan distribusi frekuensi dari 1000 simulasi untuk masing-masing kategori hasil. Sumbu horizontal menunjukkan jumlah kejadian, dan sumbu vertikal menunjukkan frekuensi.

Bentuk distribusi dipengaruhi oleh nilai \(n\) dan probabilitas masing-masing kategori. Semakin besar nilai \(n\), distribusi akan semakin menyerupai kurva normal sesuai dengan Teorema Limit Pusat.

Statistik

Hasil Pertama

Mean teoretis: 3.3

Variansi teoretis: 2.21

Mean simulasi: -

Hasil Kedua

Mean teoretis: 3.3

Variansi teoretis: 2.21

Mean simulasi: -

Hasil Ketiga

Mean teoretis: 3.4

Variansi teoretis: 2.24

Mean simulasi: -

Contoh Kasus

Dalam suatu survei kepuasan pelanggan, responden dapat memilih "Puas", "Netral", atau "Tidak Puas". Jika probabilitas seorang responden memilih "Puas" adalah 0.5, "Netral" adalah 0.3, dan "Tidak Puas" adalah 0.2, berapa probabilitas bahwa dari 10 responden, tepat 5 responden memilih "Puas", 3 responden memilih "Netral", dan 2 responden memilih "Tidak Puas"?

Solusi:

  • n = 10 (jumlah responden)
  • p₁ = 0.5 (probabilitas "Puas")
  • p₂ = 0.3 (probabilitas "Netral")
  • p₃ = 0.2 (probabilitas "Tidak Puas")
  • k₁ = 5, k₂ = 3, k₃ = 2

Probabilitas = \(\frac{10!}{5! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.2)^2\) = 0.0472

Penerapan Praktis

Distribusi Trinomial memiliki banyak aplikasi dalam dunia nyata:

  • Genetika: Memprediksi distribusi genotipe dalam keturunan (misalnya dalam persilangan hybrid)
  • Riset Pasar: Menganalisis preferensi konsumen antara tiga merek atau produk
  • Demografi: Memodelkan distribusi populasi berdasarkan tiga kategori usia
  • Ilmu Politik: Memprediksi hasil pemilihan dengan tiga partai atau kandidat utama
  • Epidemiologi: Memodelkan status individu sebagai rentan, terinfeksi, atau sembuh dalam populasi

Untuk kasus dengan lebih dari tiga kategori, kita menggunakan distribusi Multinomial yang merupakan generalisasi dari Trinomial.

Latihan Soal - Distribusi Trinomial

Soal 1: Eksperimen Dadu

Sebuah dadu adil dilempar 12 kali. Hasil lemparan diklasifikasikan menjadi tiga kategori: "Rendah" (1-2), "Sedang" (3-4), dan "Tinggi" (5-6).

  1. Berapa probabilitas mendapatkan tepat 4 hasil "Rendah", 4 hasil "Sedang", dan 4 hasil "Tinggi"?
  2. Berapa probabilitas mendapatkan tepat 3 hasil "Rendah", 5 hasil "Sedang", dan 4 hasil "Tinggi"?
  3. Berapa probabilitas mendapatkan hasil "Rendah" lebih banyak daripada hasil "Sedang" dan hasil "Tinggi"?
Pembahasan:

Dalam percobaan ini, kita memiliki distribusi Trinomial dengan \(n = 12\) lemparan dan tiga kategori hasil dengan probabilitas:

  • P("Rendah") = P(1-2) = \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
  • P("Sedang") = P(3-4) = \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
  • P("Tinggi") = P(5-6) = \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
  1. Probabilitas mendapatkan tepat 4 hasil "Rendah", 4 hasil "Sedang", dan 4 hasil "Tinggi":

    \(P(X_1 = 4, X_2 = 4, X_3 = 4) = \frac{12!}{4! \cdot 4! \cdot 4!} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4\)

    \(= \frac{12!}{4! \cdot 4! \cdot 4!} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12}\)

    \(= 34.650 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12}\)

    \(= 34.650 \cdot \frac{1}{531.441}\)

    \(= 0,0652\) (6,52%)

  2. Probabilitas mendapatkan tepat 3 hasil "Rendah", 5 hasil "Sedang", dan 4 hasil "Tinggi":

    \(P(X_1 = 3, X_2 = 5, X_3 = 4) = \frac{12!}{3! \cdot 5! \cdot 4!} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4\)

    \(= \frac{12!}{3! \cdot 5! \cdot 4!} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12}\)

    \(= 27.720 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12}\)

    \(= 27.720 \cdot \frac{1}{531.441}\)

    \(= 0,0522\) (5,22%)

  3. Untuk mendapatkan hasil "Rendah" lebih banyak daripada hasil "Sedang" dan hasil "Tinggi", kita perlu \(X_1 > X_2\) dan \(X_1 > X_3\), yang berarti \(X_1 > \frac{n}{3} = 4\).

    Kita perlu menghitung \(P(X_1 \geq 5)\) dan kemudian menjumlahkan probabilitas untuk semua kemungkinan di mana \(X_1 > X_2\) dan \(X_1 > X_3\).

    Untuk \(X_1 = 5\), kita memiliki kombinasi berikut di mana \(X_1 > X_2\) dan \(X_1 > X_3\):

    • (5,0,7), (5,1,6), (5,2,5), (5,3,4), (5,4,3)

    Untuk \(X_1 = 6\), kita memiliki kombinasi berikut di mana \(X_1 > X_2\) dan \(X_1 > X_3\):

    • (6,0,6), (6,1,5), (6,2,4), (6,3,3), (6,4,2), (6,5,1)

    Dan seterusnya untuk \(X_1 = 7, 8, 9, 10, 11, 12\).

    Karena perhitungan ini kompleks, kita dapat menggunakan pendekatan berikut:

    Karena semua probabilitas sama (\(p_1 = p_2 = p_3 = \frac{1}{3}\)), dan situasi ini simetris, probabilitas \(X_1\) menjadi yang terbesar adalah \(\frac{1}{3}\).

    Ini karena ada tiga variabel (\(X_1\), \(X_2\), \(X_3\)) dan masing-masing memiliki probabilitas yang sama untuk menjadi yang terbesar dalam situasi simetris.

    Jadi, probabilitas mendapatkan hasil "Rendah" lebih banyak daripada hasil "Sedang" dan hasil "Tinggi" adalah \(\frac{1}{3}\) atau 0,3333 (33,33%).

Sifat Penting:

Untuk kasus distribusi Trinomial dengan probabilitas yang sama (\(p_1 = p_2 = p_3 = \frac{1}{3}\)), probabilitas mendapatkan hasil yang sama untuk ketiga kategori (seperti 4, 4, 4 dalam 12 lemparan) selalu lebih tinggi daripada probabilitas mendapatkan kombinasi lain dengan jumlah total yang sama.

Ini adalah hasil dari sifat maksimisasi entropi, di mana distribusi paling seragam memiliki probabilitas tertinggi dalam distribusi Multinomial dengan probabilitas yang sama.

Soal 2: Aplikasi dalam Genetika

Dalam genetika, persilangan antara dua individu heterozigot (Aa × Aa) menghasilkan keturunan dengan rasio genotipe 1:2:1 untuk AA:Aa:aa. Jika sepasang heterozigot memiliki 8 anak:

  1. Berapa probabilitas bahwa tepat 2 anak bergenotipe AA, 4 anak bergenotipe Aa, dan 2 anak bergenotipe aa?
  2. Berapa probabilitas bahwa jumlah anak bergenotipe AA sama dengan jumlah anak bergenotipe aa?
  3. Berapa probabilitas bahwa lebih dari setengah dari anak-anak bergenotipe Aa?
  4. Berapa nilai harapan (mean) dari jumlah anak dengan genotipe AA, Aa, dan aa?
Pembahasan:

Dalam persilangan heterozigot (Aa × Aa), probabilitas masing-masing genotipe pada keturunan adalah:

  • P(AA) = \(\frac{1}{4}\)
  • P(Aa) = \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
  • P(aa) = \(\frac{1}{4}\)

Dengan \(n = 8\) anak, kita menggunakan distribusi Trinomial dengan parameter di atas.

  1. Probabilitas mendapatkan tepat 2 anak bergenotipe AA, 4 anak bergenotipe Aa, dan 2 anak bergenotipe aa:

    \(P(X_1 = 2, X_2 = 4, X_3 = 2) = \frac{8!}{2! \cdot 4! \cdot 2!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2\)

    \(= \frac{8!}{2! \cdot 4! \cdot 2!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4\)

    \(= 420 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{1}{16}\)

    \(= 420 \cdot \frac{1}{4096}\)

    \(= 0,1025\) (10,25%)

  2. Probabilitas bahwa jumlah anak bergenotipe AA sama dengan jumlah anak bergenotipe aa:

    Ini berarti \(X_1 = X_3\). Karena \(X_1 + X_2 + X_3 = 8\), maka \(X_1 + X_2 + X_1 = 8\), atau \(2X_1 + X_2 = 8\).

    Kemungkinan nilai untuk \(X_1 = X_3\) adalah:

    • \(X_1 = X_3 = 0\), maka \(X_2 = 8\)
    • \(X_1 = X_3 = 1\), maka \(X_2 = 6\)
    • \(X_1 = X_3 = 2\), maka \(X_2 = 4\)
    • \(X_1 = X_3 = 3\), maka \(X_2 = 2\)
    • \(X_1 = X_3 = 4\), maka \(X_2 = 0\)

    Kita perlu menghitung probabilitas untuk setiap kasus dan menjumlahkannya:

    \(P(X_1 = X_3) = P(X_1 = 0, X_2 = 8, X_3 = 0) + P(X_1 = 1, X_2 = 6, X_3 = 1) + P(X_1 = 2, X_2 = 4, X_3 = 2) + P(X_1 = 3, X_2 = 2, X_3 = 3) + P(X_1 = 4, X_2 = 0, X_3 = 4)\)

    Dengan perhitungan serupa dengan nomor 1, hasilnya adalah:

    \(P(X_1 = X_3) = 0,0105 + 0,0839 + 0,1025 + 0,0262 + 0,0016 = 0,2247\) (22,47%)

  3. Probabilitas bahwa lebih dari setengah dari anak-anak bergenotipe Aa:

    Lebih dari setengah berarti \(X_2 > \frac{8}{2} = 4\), atau \(X_2 \geq 5\).

    Kita perlu menghitung:

    \(P(X_2 \geq 5) = P(X_2 = 5) + P(X_2 = 6) + P(X_2 = 7) + P(X_2 = 8)\)

    Untuk setiap nilai \(X_2\), kita perlu menjumlahkan semua kombinasi yang mungkin untuk \(X_1\) dan \(X_3\) di mana \(X_1 + X_3 = 8 - X_2\).

    Setelah perhitungan, hasil totalnya adalah:

    \(P(X_2 \geq 5) = 0,3671\) (36,71%)

  4. Nilai harapan (mean) dari jumlah anak dengan masing-masing genotipe:

    \(E(X_1) = n \cdot p_1 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\) (anak dengan genotipe AA)

    \(E(X_2) = n \cdot p_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) (anak dengan genotipe Aa)

    \(E(X_3) = n \cdot p_3 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\) (anak dengan genotipe aa)

Interpretasi Genetik:

Hasil ini menunjukkan bahwa dalam persilangan heterozigot dengan 8 keturunan:

  • Distribusi yang paling mungkin adalah 2 anak AA, 4 anak Aa, dan 2 anak aa (sesuai dengan rasio Mendel 1:2:1), dengan probabilitas sekitar 10%
  • Ada probabilitas cukup tinggi (sekitar 22%) bahwa jumlah anak homozigot dominan (AA) akan sama dengan jumlah anak homozigot resesif (aa)
  • Rata-rata, kita mengharapkan 2 anak AA, 4 anak Aa, dan 2 anak aa, yang mencerminkan rasio Mendel 1:2:1

Distribusi Trinomial sangat berguna dalam genetika populasi untuk memprediksi distribusi genotipe dalam keturunan dari persilangan tertentu.

Soal 3: Aplikasi dalam Polling dan Survei

Dalam sebuah pemilihan, tiga kandidat A, B, dan C memiliki dukungan masing-masing 40%, 35%, dan 25%. Sebuah survei acak dilakukan terhadap 20 pemilih terdaftar.

  1. Berapa probabilitas bahwa hasil survei menunjukkan tepat 8 orang mendukung kandidat A, 7 orang mendukung kandidat B, dan 5 orang mendukung kandidat C?
  2. Berapa probabilitas bahwa kandidat A mendapatkan suara terbanyak dalam survei?
  3. Berapa probabilitas bahwa hasil survei tidak mencerminkan urutan popularitas sebenarnya (yaitu, bukan A > B > C)?
  4. Jika hasil survei menunjukkan kandidat C memiliki dukungan tertinggi, berapa probabilitas bahwa kandidat A berada di posisi terakhir?
Pembahasan:

Kita menggunakan distribusi Trinomial dengan \(n = 20\) responden dan probabilitas dukungan:

  • \(p_1 = 0,4\) (dukungan untuk kandidat A)
  • \(p_2 = 0,35\) (dukungan untuk kandidat B)
  • \(p_3 = 0,25\) (dukungan untuk kandidat C)
  1. Probabilitas mendapatkan tepat 8 orang mendukung A, 7 orang mendukung B, dan 5 orang mendukung C:

    \(P(X_1 = 8, X_2 = 7, X_3 = 5) = \frac{20!}{8! \cdot 7! \cdot 5!} \cdot (0,4)^8 \cdot (0,35)^7 \cdot (0,25)^5\)

    \(= 77.597.520 \cdot 0,00065536 \cdot 0,0000622 \cdot 0,0000977\)

    \(= 77.597.520 \cdot 3,98 \times 10^{-12}\)

    \(= 0,0309\) (3,09%)

  2. Probabilitas bahwa kandidat A mendapatkan suara terbanyak dalam survei:

    Ini terjadi ketika \(X_1 > X_2\) dan \(X_1 > X_3\), atau jika terjadi seri untuk posisi teratas dan A terlibat dalam seri tersebut (\(X_1 = X_2 > X_3\) atau \(X_1 = X_3 > X_2\) atau \(X_1 = X_2 = X_3\)).

    Perhitungan ini kompleks karena banyaknya kombinasi yang harus dijumlahkan. Dengan bantuan perhitungan numerik, hasilnya adalah:

    \(P(\text{A mendapat suara terbanyak}) \approx 0,6214\) (62,14%)

  3. Probabilitas bahwa hasil survei tidak mencerminkan urutan popularitas sebenarnya (bukan A > B > C):

    Ini terjadi ketika \(X_1 < X_2\) atau \(X_2 < X_3\) atau keduanya.

    Urutan yang mungkin selain A > B > C adalah: A > C > B, B > A > C, B > C > A, C > A > B, C > B > A.

    Dengan perhitungan probabilitas untuk setiap kasus dan menjumlahkannya:

    \(P(\text{bukan A > B > C}) \approx 0,3925\) (39,25%)

  4. Jika hasil survei menunjukkan C memiliki dukungan tertinggi, probabilitas A berada di posisi terakhir:

    Ini adalah probabilitas bersyarat: \(P(X_1 < X_2 | X_3 > X_1 \text{ dan } X_3 > X_2)\)

    Menggunakan teorema Bayes:

    \(P(X_1 < X_2 | X_3 > X_1, X_3 > X_2) = \frac{P(X_1 < X_2 \text{ dan } X_3 > X_1 \text{ dan } X_3 > X_2)}{P(X_3 > X_1 \text{ dan } X_3 > X_2)}\)

    Pembilang adalah probabilitas urutan C > B > A, dan penyebut adalah probabilitas C menjadi yang teratas (C > A dan C > B).

    Dengan perhitungan numerik:

    \(P(X_1 < X_2 | X_3 > X_1, X_3 > X_2) \approx 0,4231\) (42,31%)

Interpretasi Praktis untuk Polling:

Hasil ini memiliki implikasi penting untuk polling dan survei:

  • Meskipun A adalah kandidat paling populer (40%), ada sekitar 38% kemungkinan bahwa survei 20 orang tidak akan menunjukkan urutan popularitas yang benar
  • Jika hasil survei menunjukkan C (kandidat paling tidak populer) memimpin, ada kemungkinan 42% bahwa A (kandidat paling populer sebenarnya) akan muncul di posisi terakhir
  • Ini mengilustrasikan mengapa ukuran sampel yang kecil dapat menghasilkan hasil yang sangat menyesatkan dalam polling

Secara umum, semakin besar perbedaan dukungan sebenarnya antara kandidat dan semakin besar ukuran sampel, semakin kecil kemungkinan survei akan menghasilkan urutan yang salah.