Distribusi Kontinu Khusus

Distribusi Seragam (Uniform Distribution)

Teori dan Konsep

Distribusi seragam adalah distribusi probabilitas kontinu yang memberikan probabilitas yang sama untuk semua nilai dalam interval tertentu [a, b]. Distribusi ini sering digunakan ketika kita tidak memiliki informasi prior tentang distribusi data.

💡 Pemahaman Intuitif

Bayangkan seperti ini: Anda memilih halaman acak dari buku yang tebalnya 100 halaman. Setiap halaman (1, 2, 3, ..., 100) memiliki peluang yang sama untuk terpilih. Atau bayangkan lift yang berhenti secara acak di antara lantai 5 dan lantai 15 - setiap titik ketinggian memiliki peluang sama!

Analogi kehidupan yang familiar:

🚌 Waktu tunggu bus - Bus datang setiap 10 menit. Jika Anda tiba kapan saja, waktu tunggu Anda bisa 0-10 menit dengan peluang sama
📚 Memilih halaman buku secara acak - tutup mata dan buka buku, setiap halaman punya peluang sama
🕐 Jam kedatangan tamu - dalam pesta dari jam 7-9 malam, tamu bisa datang kapan saja dengan peluang sama
🎲 Spinner yang adil - alat putar dengan area yang sama untuk setiap bagian

Mengapa berbentuk "kotak datar"? Karena setiap nilai dalam interval [a,b] memiliki peluang yang SAMA PERSIS. Tidak ada nilai yang "lebih disukai" - semua nilai equally likely!

🔧 Apa Arti Parameter?

Parameter 'a' = batas bawah (nilai terkecil yang mungkin)

Parameter 'b' = batas atas (nilai terbesar yang mungkin)

Tinggi grafik = 1/(b-a) → semakin lebar interval, semakin rendah grafik!

Fungsi Densitas Probabilitas (PDF):

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{untuk } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{lainnya} \end{cases}$$

Mean dan Varians:

$$\mu = \frac{a + b}{2}$$ (titik tengah interval) $$\sigma^2 = \frac{(b-a)^2}{12}$$ (semakin lebar, semakin bervariasi)

Visualisasi Interaktif

Parameter a (batas bawah):

Parameter b (batas atas):

2.5

Mean

2.08

Varians

1.44

Std Dev

Kalkulator Probabilitas

Hitung P(X ≤ x) untuk nilai x:

P(X ≤ 2.5) = 0.5

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

1. Pemodelan Ketidakpastian

Digunakan ketika kita tidak memiliki informasi prior tentang distribusi parameter, seperti estimasi awal dalam analisis Bayesian.

2. Generator Bilangan Acak

Distribusi seragam [0,1] adalah dasar untuk menghasilkan semua distribusi lainnya dalam simulasi komputer.

3. Optimisasi dan Pencarian

Dalam algoritma optimisasi, distribusi seragam digunakan untuk pencarian acak dalam ruang solusi.

Distribusi Gamma

Teori dan Konsep

Distribusi Gamma adalah distribusi kontinu yang sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu sampai kejadian ke-k dalam proses Poisson, atau untuk memodelkan variabel yang selalu positif dengan skewness tertentu.

💡 Pemahaman Intuitif

Bayangkan seperti ini: Anda sedang menunggu 3 email masuk ke inbox. Jika rata-rata 1 email masuk per jam, berapa lama waktu tunggu sampai email ke-3 tiba? Distribusi Gamma memodelkan hal ini!

Analogi kehidupan:

⏰ Waktu sampai lampu menyala ke-α dalam parade lampu
🏥 Waktu tunggu sampai pasien ke-α datang ke rumah sakit
☔ Total curah hujan dalam periode tertentu
💡 Umur produk elektronik dengan multiple komponen

Mengapa bentuknya melengkung? Karena ada proses "akumulasi" - kita menunggu beberapa kejadian terjadi berturut-turut!

🔧 Apa Arti Parameter?

Parameter α (shape) = berapa kejadian yang kita tunggu

α = 1 → Distribusi Eksponensial (tunggu 1 kejadian)
α = 2 → Tunggu 2 kejadian
α besar → Bentuk seperti lonceng (mendekati normal)

Parameter β (rate) = seberapa cepat kejadian terjadi

β besar → Kejadian cepat, kurva sempit
β kecil → Kejadian lambat, kurva lebar

Fungsi Densitas Probabilitas (PDF):

$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

dimana α > 0 (shape parameter), β > 0 (rate parameter)

Mean dan Varians:

$$\mu = \frac{\alpha}{\beta}$$ (waktu rata-rata tunggu) $$\sigma^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}$$ (variabilitas waktu tunggu)

Visualisasi Interaktif

Parameter α (shape): Berapa kejadian yang ditunggu?

Parameter β (rate): Seberapa cepat kejadian terjadi?

2.0

Mean

2.0

Varians

1.41

Std Dev

Kalkulator Probabilitas

Hitung probabilitas untuk nilai x:

f(2) = 0.271

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

1. Analisis Keandalan

Memodelkan waktu hingga kegagalan sistem dengan multiple komponen independen.

2. Analisis Antrian

Memodelkan waktu pelayanan dalam sistem antrian kompleks.

3. Hidrologi

Memodelkan distribusi curah hujan dan debit air sungai.

Distribusi Eksponensial

Teori dan Konsep

Distribusi eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma (α=1) yang memodelkan waktu antar kejadian dalam proses Poisson. Distribusi ini memiliki sifat "memoryless" yang unik.

💡 Pemahaman Intuitif

Bayangkan seperti ini: Anda sedang menunggu email pertama masuk ke inbox. Berapa lama waktu tunggu sampai email pertama tiba? Distribusi eksponensial memodelkan hal ini!

Analogi kehidupan:

📞 Waktu tunggu panggilan telepon pertama di call center
🚗 Waktu antar mobil lewat di jalan yang sepi
💡 Umur bola lampu sampai putus
⚡ Waktu antar petir saat badai

Mengapa menurun tajam? Karena kebanyakan hal terjadi "segera", dan semakin lama semakin jarang!

Sifat "Memoryless": Jika Anda sudah menunggu 10 menit, peluang menunggu 5 menit lagi sama dengan peluang menunggu 5 menit dari awal!

🔧 Apa Arti Parameter?

Parameter λ (lambda/rate) = seberapa cepat kejadian terjadi

λ = 1 kejadian/jam → rata-rata tunggu 1 jam
λ = 2 kejadian/jam → rata-rata tunggu 0.5 jam
λ besar → Kurva tajam (kejadian cepat)
λ kecil → Kurva landai (kejadian lambat)

Mean = 1/λ → Waktu tunggu rata-rata

Fungsi Densitas Probabilitas (PDF):

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

dimana λ > 0 (rate parameter)

Mean dan Varians:

$$\mu = \frac{1}{\lambda}$$ (waktu tunggu rata-rata) $$\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$ (variabilitas = mean²)

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF):

$$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$$ (peluang kejadian dalam waktu x)

Visualisasi Interaktif

Parameter λ (rate): Seberapa sering kejadian terjadi?

1.0

Mean

1.0

Varians

1.0

Std Dev

Kalkulator Probabilitas

Hitung P(X ≤ x) - Peluang kejadian dalam waktu x:

P(X ≤ 1) = 0.632

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

1. Analisis Keandalan

Memodelkan waktu hingga kegagalan komponen elektronik dengan constant failure rate.

2. Teori Antrian

Memodelkan waktu antar kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan dalam sistem antrian sederhana.

3. Fisika Radioaktif

Memodelkan waktu antar peluruhan atom radioaktif.

4. Memoryless Property

P(X > s+t | X > s) = P(X > t) - probabilitas masa depan tidak bergantung pada masa lalu.

Distribusi Beta

Teori dan Konsep

Distribusi Beta adalah distribusi kontinu yang didefinisikan pada interval [0,1], sangat berguna untuk memodelkan proporsi, probabilitas, dan persentase. Distribusi ini sangat fleksibel dengan berbagai bentuk kurva.

💡 Pemahaman Intuitif

Bayangkan seperti ini: Anda ingin tahu persentase mahasiswa yang lulus ujian. Jika dari 10 mahasiswa, 7 lulus, berapa estimasi persentase kelulusan? Distribusi Beta membantu memodelkan ketidakpastian ini!

Analogi kehidupan:

🎯 Tingkat akurasi penembak (0% - 100%)
📊 Proporsi produk cacat dalam pabrik
🏀 Persentase free throw pemain basket
📱 Rating kepuasan pengguna aplikasi (0-1)
🎲 Probabilitas koin bias

Mengapa fleksibel? Dengan mengubah α dan β, kita bisa dapat bentuk: U, lonceng, miring kiri, miring kanan, atau datar!

🔧 Apa Arti Parameter?

Cara mudah ingat: α = "sukses", β = "gagal"

α = β = 1 → Distribusi seragam (semua nilai sama mungkin)
α > β → Condong ke kanan (nilai tinggi lebih mungkin)
α < β → Condong ke kiri (nilai rendah lebih mungkin)
α = β > 1 → Bentuk lonceng (nilai tengah paling mungkin)
α, β < 1 → Bentuk U (nilai ekstrem lebih mungkin)

Mean = α/(α+β) → Proporsi yang diharapkan

Fungsi Densitas Probabilitas (PDF):

$$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$$

dimana $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ adalah fungsi Beta

Mean dan Varians:

$$\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$ (proporsi rata-rata) $$\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ (ketidakpastian)

Visualisasi Interaktif

Parameter α: Jumlah "sukses" yang diamati

Parameter β: Jumlah "gagal" yang diamati

0.5

Mean

0.05

Varians

0.22

Std Dev

Kalkulator Probabilitas

Hitung nilai PDF untuk x (0 ≤ x ≤ 1):

f(0.5) = 1.5

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

1. Statistik Bayesian

Distribusi prior untuk parameter probabilitas dalam analisis Bayesian, karena conjugate dengan distribusi binomial.

2. Kontrol Kualitas

Memodelkan proporsi produk cacat dalam proses manufaktur.

3. Analisis Performa

Memodelkan persentase efisiensi sistem, tingkat keberhasilan, atau skor ternormalisasi.

4. Pemodelan PERT

Dalam manajemen proyek, distribusi Beta digunakan untuk estimasi durasi aktivitas.