Pembelajaran Distribusi Dua Peubah Acak

Pendahuluan

Selamat datang di modul pembelajaran mengenai Distribusi Dua Peubah Acak. Pada materi ini, kita akan mempelajari:

Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Distribusi Marginal (Marginal Distribution)
Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Kebebasan Stokastik (Stochastic Independence)

Peubah acak (random variable) adalah fungsi yang memetakan hasil dari suatu percobaan ke nilai numerik. Ketika kita bekerja dengan dua atau lebih peubah acak secara bersamaan, kita perlu memahami hubungan antara peubah-peubah tersebut.

Penjelasan Sederhana

Bayangkan dua peubah acak sebagai dua karakteristik yang kita amati secara bersamaan. Misalnya:

Tinggi badan (X) dan berat badan (Y) siswa di sekolah
Suhu udara (X) dan jumlah pengunjung (Y) di pantai
Harga saham (X) dan volume perdagangan (Y) di bursa

Kita ingin mengetahui: Bagaimana distribusi nilai-nilai ini? Apakah mereka saling memengaruhi? Jika kita tahu nilai satu variabel, apakah itu memberi informasi tentang variabel lainnya?

Untuk lebih memahami konsep peubah acak, mari kita lihat ilustrasi sederhana berikut:

Grafik di atas menunjukkan distribusi peubah acak X dan Y. Silakan pilih tab menu untuk mempelajari lebih lanjut.

Petunjuk Penggunaan:

Klik pada menu tab untuk berpindah antar topik
Gunakan kontrol interaktif untuk mengubah parameter pada simulasi
Baca penjelasan teoritis dan amati visualisasi untuk memahami konsep
Uji pemahaman Anda dengan mengerjakan kuis di akhir modul

Distribusi Gabungan

Distribusi gabungan (joint distribution) dari dua peubah acak X dan Y menggambarkan probabilitas dari berbagai nilai yang mungkin diambil oleh kedua peubah acak secara bersamaan.

Penjelasan Sederhana

Distribusi gabungan seperti "peta probabilitas" yang menunjukkan peluang mendapatkan pasangan nilai X dan Y secara bersamaan.

Contoh kehidupan nyata: Bayangkan Anda mengumpulkan data tentang tinggi badan (X) dan berat badan (Y) siswa di sekolah. Distribusi gabungan menunjukkan seberapa sering Anda menemukan kombinasi tinggi-berat tertentu. Misalnya, peluang menemukan siswa dengan tinggi 170cm dan berat 65kg.

Dalam bentuk matematika, distribusi gabungan memberi tahu kita P(X=x, Y=y) - probabilitas X memiliki nilai x dan Y memiliki nilai y secara bersamaan.

Definisi Formal

Untuk peubah acak diskrit X dan Y, fungsi distribusi gabungan didefinisikan sebagai:

\[ P_{X,Y}(x,y) = P(X=x, Y=y) \]

Untuk peubah acak kontinu X dan Y, fungsi kepadatan probabilitas gabungan didefinisikan sebagai:

\[ f_{X,Y}(x,y) \]

dengan sifat:

\[ P(X \in A, Y \in B) = \int_{y \in B} \int_{x \in A} f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy \]

Visualisasi

Berikut adalah visualisasi distribusi gabungan dari dua peubah acak. Perhatikan bagaimana nilai probabilitas berubah untuk pasangan nilai (x,y) yang berbeda:

Plot 3D Distribusi Gabungan

Heatmap Distribusi Gabungan

Jenis Distribusi:

Koefisien Korelasi:

-1 0 1

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Misalkan X adalah hasil pelemparan dadu pertama dan Y adalah hasil pelemparan dadu kedua. Berikut adalah tabel distribusi gabungannya:

P(X,Y)	Y=1	Y=2	Y=3	Y=4	Y=5	Y=6
X=1	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
X=2	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
X=3	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
X=4	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
X=5	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
X=6	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36

Setiap sel dalam tabel tersebut menunjukkan P(X=x, Y=y), yaitu probabilitas bahwa X=x dan Y=y secara bersamaan. Perhatikan bahwa total semua probabilitas dalam tabel adalah 1, karena salah satu pasangan nilai (X,Y) pasti terjadi.

Interpretasi nyata:

Untuk contoh pelemparan dua dadu, setiap kombinasi memiliki probabilitas yang sama (1/36) karena:

Setiap dadu memiliki 6 kemungkinan hasil (1-6)
Kedua dadu dilempar secara independen
Total kombinasi yang mungkin adalah 6 × 6 = 36
Setiap kombinasi memiliki peluang yang sama

Ini adalah contoh distribusi gabungan dimana kedua peubah acak bersifat independen. Dalam kehidupan nyata, banyak peubah acak yang memiliki hubungan (berkorelasi), sehingga nilai probabilitas dalam tabel distribusi gabungan tidak akan seragam.

Distribusi Marginal

Distribusi marginal adalah distribusi probabilitas dari satu peubah acak tanpa memperhatikan nilai peubah acak lainnya. Distribusi marginal diperoleh dengan "memarginalisasi" atau menjumlahkan/mengintegralkan distribusi gabungan terhadap peubah acak lainnya.

Penjelasan Sederhana

Distribusi marginal seperti melihat "pinggiran" (margin) dari tabel distribusi gabungan. Kita fokus pada satu variabel dan mengabaikan yang lainnya dengan cara menjumlahkan semua kemungkinan untuk variabel yang diabaikan.

Analogi: Bayangkan Anda mendata pengunjung mal berdasarkan usia (X) dan jenis kelamin (Y). Jika Anda hanya tertarik pada distribusi usia tanpa memperhatikan jenis kelamin, Anda "memarginalisasi" data untuk mendapatkan distribusi marginal untuk usia.

Dengan kata lain, distribusi marginal adalah "ringkasan" dari distribusi gabungan yang hanya memperhatikan satu variabel saja.

Definisi Formal

Untuk peubah acak diskrit X dan Y, distribusi marginal dari X adalah:

\[ P_X(x) = \sum_{y} P_{X,Y}(x,y) \]

Dan distribusi marginal dari Y adalah:

\[ P_Y(y) = \sum_{x} P_{X,Y}(x,y) \]

Untuk peubah acak kontinu X dan Y, fungsi kepadatan probabilitas marginal dari X adalah:

\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy \]

Dan fungsi kepadatan probabilitas marginal dari Y adalah:

\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx \]

Visualisasi

Berikut adalah visualisasi distribusi marginal dari peubah acak X dan Y. Perhatikan bagaimana distribusi marginal diperoleh dari distribusi gabungan:

Keterangan:

Distribusi Gabungan
Distribusi Marginal X
Distribusi Marginal Y

Jenis Distribusi:

Cara Memahami Distribusi Marginal

Perhatikan ilustrasi berikut yang menunjukkan bagaimana distribusi marginal dihitung dari tabel distribusi gabungan:

	Y=1	Y=2	Y=3	P(X=x)
X=1	0.1	0.05	0.05	0.2
X=2	0.2	0.1	0.1	0.4
X=3	0.1	0.2	0.1	0.4
P(Y=y)	0.4	0.35	0.25	1.0

Kolom merah menunjukkan distribusi marginal X, diperoleh dengan menjumlahkan baris.
Baris hijau menunjukkan distribusi marginal Y, diperoleh dengan menjumlahkan kolom.

Perhatikan bahwa total distribusi marginal selalu sama dengan 1, karena kita memperhitungkan semua kemungkinan nilai variabel.

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Melanjutkan contoh pelemparan dua dadu sebelumnya, kita dapat menghitung distribusi marginal untuk X dan Y:

X	P(X=x)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Y	P(Y=y)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Perhatikan bahwa distribusi marginal untuk X dan Y sama, yaitu distribusi seragam dari 1 sampai 6. Distribusi marginal ini diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas dari distribusi gabungan untuk setiap nilai X dan Y.

Misalnya, untuk menghitung P(X=1), kita menjumlahkan P(X=1, Y=y) untuk semua nilai y yang mungkin:

\[ P(X=1) = \sum_{y=1}^{6} P(X=1, Y=y) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Distribusi Bersyarat

Distribusi bersyarat (conditional distribution) menggambarkan distribusi probabilitas dari suatu peubah acak, dengan syarat diketahui nilai dari peubah acak lainnya. Distribusi bersyarat membantu kita memahami bagaimana pengetahuan tentang satu peubah acak memengaruhi ketidakpastian peubah acak lainnya.

Penjelasan Sederhana

Distribusi bersyarat menjawab pertanyaan "Jika kita tahu nilai satu variabel, bagaimana probabilitas nilai variabel lainnya?". Ini seperti membatasi ruang sampel kita berdasarkan informasi tambahan yang kita miliki.

Contoh kehidupan nyata: Jika kita tahu bahwa seorang siswa memiliki tinggi 180 cm, bagaimana distribusi probabilitas untuk berat badannya? Informasi tentang tinggi badan mengubah ekspektasi kita tentang berat badan.

Jika X dan Y saling bebas, maka mengetahui nilai X tidak memberikan informasi tentang nilai Y, sehingga distribusi bersyarat P(Y|X) sama dengan distribusi marginal P(Y).

Bayangkan kita sedang memperhatikan "irisan" tertentu dari distribusi gabungan, dan melihat bagaimana probabilitas didistribusikan dalam irisan tersebut.

Definisi Formal

Untuk peubah acak diskrit X dan Y, distribusi bersyarat X jika diketahui Y=y adalah:

\[ P_{X|Y}(x|y) = \frac{P_{X,Y}(x,y)}{P_Y(y)} \]

Dan distribusi bersyarat Y jika diketahui X=x adalah:

\[ P_{Y|X}(y|x) = \frac{P_{X,Y}(x,y)}{P_X(x)} \]

Untuk peubah acak kontinu X dan Y, fungsi kepadatan probabilitas bersyarat X jika diketahui Y=y adalah:

\[ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} \]

Dan fungsi kepadatan probabilitas bersyarat Y jika diketahui X=x adalah:

\[ f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} \]

Visualisasi

Berikut adalah visualisasi distribusi bersyarat. Geser slider untuk melihat bagaimana distribusi bersyarat berubah untuk nilai yang berbeda dari variabel kondisi:

Kontrol:

Pilih Distribusi Bersyarat:

Jenis Distribusi:

Nilai X:

-3 0 3

Ilustrasi Distribusi Bersyarat dengan Tabel

Perhatikan tabel distribusi gabungan dan cara menghitung distribusi bersyarat:

	Y=1	Y=2	Y=3	P(X=x)
X=1	0.1	0.05	0.05	0.2
X=2	0.2	0.1	0.1	0.4
X=3	0.1	0.2	0.1	0.4
P(Y=y)	0.4	0.35	0.25	1.0

Menghitung P(Y|X=2) - Distribusi bersyarat Y jika X=2:

y	P(X=2, Y=y)	P(X=2)	P(Y=y\|X=2) = P(X=2, Y=y) / P(X=2)
1	0.2	0.4	0.2 / 0.4 = 0.5
2	0.1	0.1 / 0.4 = 0.25
3	0.1	0.1 / 0.4 = 0.25

Perhatikan bahwa total distribusi bersyarat tetap 1 (0.5 + 0.25 + 0.25 = 1), karena kita mendistribusikan probabilitas 100% di antara kemungkinan-kemungkinan untuk variabel lainnya.

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Melanjutkan contoh pelemparan dua dadu, katakanlah kita ingin mengetahui distribusi bersyarat Y jika diketahui X=3.

Y	P(Y=y\|X=3)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Distribusi bersyarat dihitung menggunakan rumus:

\[ P(Y=y|X=3) = \frac{P(X=3, Y=y)}{P(X=3)} = \frac{1/36}{1/6} = \frac{1}{6} \]

Perhatikan bahwa dalam contoh ini, distribusi bersyarat P(Y|X=3) sama dengan distribusi marginal P(Y). Ini karena X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas (independent), seperti yang akan kita bahas di bagian selanjutnya.

Contoh: Skor Ujian dan Jam Belajar

Bayangkan X adalah jam belajar siswa per minggu (1-5 jam) dan Y adalah skor ujian (A, B, C). Jika jam belajar dan skor ujian berkorelasi positif, distribusi bersyarat P(Y|X=5) akan condong ke skor tinggi (lebih banyak A), sedangkan P(Y|X=1) akan condong ke skor rendah (lebih banyak C).

Ini berbeda dengan contoh dadu di atas karena ada ketergantungan/korelasi antara X dan Y. Inilah yang membuat distribusi bersyarat berbeda dari distribusi marginal.

Kebebasan Stokastik

Kebebasan stokastik (stochastic independence) adalah konsep penting dalam teori probabilitas yang menggambarkan situasi di mana pengetahuan tentang satu peubah acak tidak memberikan informasi tambahan tentang peubah acak lainnya.

Penjelasan Sederhana

Dua peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika mengetahui nilai X tidak membantu kita memprediksi nilai Y, dan sebaliknya.

Analogi: Bayangkan dua kotak, masing-masing berisi bola berwarna. Jika mengambil bola dari kotak pertama tidak mempengaruhi probabilitas warna bola yang kita ambil dari kotak kedua, maka kedua kejadian tersebut independen.

Jika X dan Y saling bebas, maka:

P(X,Y) = P(X) × P(Y)
P(Y|X) = P(Y)
P(X|Y) = P(X)

Definisi Formal

Dua peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas (independent) jika dan hanya jika:

\[ P_{X,Y}(x,y) = P_X(x) \cdot P_Y(y) \]

untuk semua nilai x dan y.

Secara ekuivalen, untuk peubah acak diskrit, X dan Y independen jika dan hanya jika:

\[ P(X=x|Y=y) = P(X=x) \]

dan

\[ P(Y=y|X=x) = P(Y=y) \]

Untuk peubah acak kontinu, X dan Y independen jika dan hanya jika:

\[ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \]

Visualisasi

Perhatikan perbedaan antara distribusi gabungan peubah acak bebas dan peubah acak yang berkorelasi:

Jenis Distribusi:

Peubah acak bebas

Peubah acak berkorelasi

Properti kebebasan stokastik:

f_X,Y(x,y) = f_X(x) · f_Y(y)
f_X|Y(x|y) = f_X(x)
f_Y|X(y|x) = f_Y(y)

Perbandingan Peubah Acak Bebas vs. Berkorelasi

Properti	Peubah Acak Bebas	Peubah Acak Berkorelasi
Distribusi Gabungan	P(X,Y) = P(X) × P(Y)	P(X,Y) ≠ P(X) × P(Y)
Distribusi Bersyarat	P(Y\|X) = P(Y) P(X\|Y) = P(X)	P(Y\|X) ≠ P(Y) P(X\|Y) ≠ P(X)
Interpretasi	Mengetahui nilai satu variabel tidak memberikan informasi tentang variabel lainnya	Mengetahui nilai satu variabel memberikan informasi tentang variabel lainnya
Contoh	Pelemparan dua dadu	Tinggi dan berat badan
Visualisasi	Bentuk distribusi "oval" yang sejajar dengan sumbu	Bentuk distribusi "oval" yang miring (korelasi positif/negatif)

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Dalam contoh pelemparan dua dadu, X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas karena hasil dadu pertama tidak memengaruhi hasil dadu kedua.

Kita dapat memverifikasi independensi dengan memeriksa apakah P(X=x, Y=y) = P(X=x) · P(Y=y) untuk semua pasangan (x,y):

\[ P(X=x, Y=y) = \frac{1}{36} \] \[ P(X=x) = \frac{1}{6}, P(Y=y) = \frac{1}{6} \] \[ P(X=x) \cdot P(Y=y) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

Karena P(X=x, Y=y) = P(X=x) · P(Y=y) untuk semua pasangan (x,y), maka X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas.

Contoh Lain: Jumlah Dua Dadu

Sekarang, mari kita lihat contoh peubah acak yang tidak independen. Misalkan X adalah hasil dadu pertama dan Z adalah jumlah dari kedua dadu.

Apakah X dan Z saling bebas? Mari kita periksa:

Untuk X=1 dan Z=7, kita tahu bahwa:

\[ P(X=1) = \frac{1}{6} \] \[ P(Z=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Jika X dan Z independen, maka:

\[ P(X=1, Z=7) = P(X=1) \cdot P(Z=7) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

Tetapi kita tahu bahwa P(X=1, Z=7) hanya terjadi ketika dadu kedua adalah 6, sehingga:

\[ P(X=1, Z=7) = P(X=1, Y=6) = \frac{1}{36} \]

Untuk X=1 dan Z=2, kita tahu bahwa:

\[ P(X=1, Z=2) = P(X=1, Y=1) = \frac{1}{36} \]

Tetapi jika X dan Z independen, kita seharusnya mendapatkan:

\[ P(X=1, Z=2) = P(X=1) \cdot P(Z=2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{216} \neq \frac{1}{36} \]

Karena P(X=x, Z=z) ≠ P(X=x) · P(Z=z) untuk setidaknya satu pasangan (x,z), maka X dan Z adalah peubah acak yang tidak saling bebas.

Contoh Kehidupan Nyata

Peubah acak yang umumnya saling bebas:

Hasil pelemparan dadu dan koin
Jumlah curah hujan di Jakarta dan Tokyo pada hari yang sama
Jenis kelamin bayi yang baru lahir dan hasil undian lotere

Peubah acak yang umumnya berkorelasi (tidak saling bebas):

Tinggi badan dan berat badan seseorang (korelasi positif)
Jumlah jam belajar dan nilai ujian (korelasi positif)
Harga bensin dan jarak tempuh kendaraan per minggu (korelasi negatif)
Suhu udara dan penjualan es krim (korelasi positif)

Mengenali apakah dua peubah acak saling bebas sangat penting dalam analisis statistik, karena banyak metode statistik mengasumsikan independensi antara variabel.

Pendahuluan

Penjelasan Sederhana

Distribusi Gabungan

Penjelasan Sederhana

Definisi Formal

Visualisasi

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Interpretasi nyata:

Distribusi Marginal

Penjelasan Sederhana

Definisi Formal

Visualisasi

Keterangan:

Cara Memahami Distribusi Marginal

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Distribusi Bersyarat

Penjelasan Sederhana

Definisi Formal

Visualisasi

Kontrol:

Ilustrasi Distribusi Bersyarat dengan Tabel

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Contoh: Skor Ujian dan Jam Belajar

Kebebasan Stokastik

Penjelasan Sederhana

Definisi Formal

Visualisasi

Jenis Distribusi:

Perbandingan Peubah Acak Bebas vs. Berkorelasi

Contoh: Pelemparan Dua Dadu

Contoh Lain: Jumlah Dua Dadu

Contoh Kehidupan Nyata

Kuis Distribusi Dua Peubah Acak

Pertanyaan 1:

Penjelasan:

Pertanyaan 2:

Penjelasan:

Pertanyaan 3:

Penjelasan:

Pertanyaan 4:

Penjelasan:

Pertanyaan 5:

Penjelasan:

Hasil Kuis

Rangkuman Materi