Ekspektasi Satu Peubah Acak

Nilai Ekspektasi (Harapan)

Definisi dan Arti Intuitif

Nilai ekspektasi atau nilai harapan dari peubah acak \(X\) dinotasikan dengan \(E(X)\) atau \(\mu_X\), mendefinisikan nilai rata-rata suatu peubah acak dalam jangka panjang.

Arti Intuitif:

Bayangkan ekspektasi sebagai "pusat gravitasi" dari distribusi peluang. Ini adalah nilai yang Anda harapkan terjadi jika suatu percobaan dilakukan berulang kali dalam jumlah besar. Dalam kehidupan sehari-hari, ekspektasi adalah dasar pengambilan keputusan rasional seperti dalam asuransi, investasi, dan perjudian.

Untuk peubah acak diskrit:

Jika \(X\) adalah peubah acak diskrit dengan nilai yang mungkin \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) dan fungsi massa peluang \(P(X = x_i) = p_i\), maka:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

Untuk peubah acak kontinu:

Jika \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang \(f(x)\), maka:

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

Jika \(c\) adalah konstanta, maka \(E(c) = c\)
Jika \(c\) adalah konstanta, maka \(E(cX) = cE(X)\)
Untuk dua peubah acak \(X\) dan \(Y\), \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
Jika peubah acak \(X\) dan \(Y\) independen, maka \(E(XY) = E(X)E(Y)\)

Contoh Perhitungan

Misal sebuah dadu adil dilempar. Nilai harapan dari hasil lemparan adalah:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]

Jadi nilai harapan dari hasil lemparan dadu adalah 3.5.

Studi Kasus: Analisis Investasi

Kasus: Pilihan Investasi dengan Risiko Berbeda

PT Maju Bersama sedang mempertimbangkan dua pilihan investasi:

Investasi A: Peluang keuntungan 70% sebesar Rp50 juta, dan peluang kerugian 30% sebesar Rp20 juta.
Investasi B: Peluang keuntungan 40% sebesar Rp100 juta, peluang balik modal 35%, dan peluang kerugian 25% sebesar Rp40 juta.

Investasi mana yang seharusnya dipilih jika keputusan hanya berdasarkan nilai ekspektasi?

Analisis dan Solusi:

Langkah 1: Identifikasi peubah acak dan nilai-nilainya.

Misalkan \(X_A\) adalah keuntungan Investasi A dan \(X_B\) adalah keuntungan Investasi B (dalam juta rupiah).

\(X_A\) dapat bernilai 50 atau -20
\(X_B\) dapat bernilai 100, 0, atau -40

Langkah 2: Hitung nilai ekspektasi untuk masing-masing investasi.

Untuk Investasi A:

\[ E(X_A) = 50 \times 0.7 + (-20) \times 0.3 = 35 - 6 = 29 \text{ juta rupiah} \]

Untuk Investasi B:

\[ E(X_B) = 100 \times 0.4 + 0 \times 0.35 + (-40) \times 0.25 = 40 - 10 = 30 \text{ juta rupiah} \]

Langkah 3: Ambil keputusan berdasarkan nilai ekspektasi.

Nilai ekspektasi Investasi B (Rp30 juta) sedikit lebih tinggi daripada Investasi A (Rp29 juta).

Kesimpulan: Dari perspektif nilai ekspektasi saja, Investasi B lebih menguntungkan. Namun, perbedaannya sangat kecil (hanya Rp1 juta), dan investasi B memiliki risiko kerugian yang lebih besar. Dalam praktiknya, keputusan juga harus mempertimbangkan varians (risiko), preferensi risiko investor, dan faktor-faktor lain.

Penggunaan Nilai Ekspektasi dalam Dunia Nyata:

Perusahaan asuransi menggunakan nilai ekspektasi untuk menentukan premi yang harus dibayar oleh nasabah
Bank dan lembaga keuangan menggunakannya untuk menilai risiko kredit
Investor menggunakannya untuk membandingkan potensi keuntungan dari berbagai pilihan investasi
Produsen menggunakannya untuk memperkirakan permintaan dan menentukan tingkat produksi optimal

Simulasi Nilai Ekspektasi

Simulasi di bawah menunjukkan bagaimana nilai rata-rata mendekati nilai ekspektasi seiring bertambahnya jumlah percobaan pada pelemparan dadu.

Jumlah Lemparan:

100

Rata-rata: 0

Nilai Harapan Teoritis: 3.5

Varians dan Standar Deviasi

Definisi dan Arti Intuitif

Varians dari peubah acak \(X\) dinotasikan dengan \(Var(X)\) atau \(\sigma_X^2\), mengukur seberapa jauh nilai-nilai peubah acak tersebar dari nilai ekspektasinya.

Arti Intuitif:

Varians mengukur ketidakpastian atau volatilitas. Nilai varians yang kecil menunjukkan bahwa nilai-nilai cenderung mendekati nilai ekspektasi (risiko kecil), sedangkan varians yang besar menunjukkan nilai-nilai yang tersebar jauh (risiko besar). Dalam konteks keuangan, varians sering diartikan sebagai risiko. Jika dua investasi memiliki nilai ekspektasi yang sama, investasi dengan varians lebih kecil umumnya lebih disukai karena memiliki risiko lebih rendah.

\[ Var(X) = E[(X - \mu)^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

Untuk peubah acak diskrit:

\[ Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \]

Untuk peubah acak kontinu:

\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot f(x) \, dx \]

Standar Deviasi

Standar deviasi dari peubah acak \(X\) dinotasikan dengan \(\sigma_X\) dan didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varians:

\[ \sigma_X = \sqrt{Var(X)} \]

Standar deviasi memberikan ukuran sebaran nilai dalam satuan yang sama dengan nilai peubah acak asli.

Sifat-sifat Varians

Jika \(c\) adalah konstanta, maka \(Var(c) = 0\)
Jika \(c\) adalah konstanta, maka \(Var(cX) = c^2 Var(X)\)
Untuk dua peubah acak \(X\) dan \(Y\) yang independen, \(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)\)
Untuk dua peubah acak \(X\) dan \(Y\), \(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)\), dimana \(Cov(X,Y)\) adalah kovarians antara \(X\) dan \(Y\)

Studi Kasus: Pengendalian Kualitas Produksi

Kasus: Perbandingan Dua Lini Produksi

PT Teknik Presisi memiliki dua lini produksi (A dan B) yang menghasilkan komponen dengan diameter target 15 mm. Setelah pengambilan sampel, diperoleh data berikut:

Lini A: Rata-rata diameter 15.02 mm dengan varians 0.04 mm²
Lini B: Rata-rata diameter 14.98 mm dengan varians 0.09 mm²

Lini mana yang menunjukkan kinerja produksi lebih baik?

Analisis dan Solusi:

Langkah 1: Identifikasi parameter.

Untuk Lini A:

Mean (μᴀ) = 15.02 mm
Varians (σ²ᴀ) = 0.04 mm²
Standar deviasi (σᴀ) = √0.04 = 0.2 mm

Untuk Lini B:

Mean (μʙ) = 14.98 mm
Varians (σ²ʙ) = 0.09 mm²
Standar deviasi (σʙ) = √0.09 = 0.3 mm

Langkah 2: Evaluasi akurasi (kedekatan dengan target).

Deviasi Lini A dari target: |15.02 - 15| = 0.02 mm

Deviasi Lini B dari target: |14.98 - 15| = 0.02 mm

Kedua lini memiliki akurasi yang sama (sama-sama menyimpang 0.02 mm dari target).

Langkah 3: Evaluasi presisi (konsistensi produksi).

Varians Lini A (0.04 mm²) lebih kecil daripada varians Lini B (0.09 mm²).

Standar deviasi Lini A (0.2 mm) lebih kecil daripada standar deviasi Lini B (0.3 mm).

Kesimpulan: Lini A menunjukkan kinerja yang lebih baik karena memiliki tingkat presisi yang lebih tinggi (varians lebih kecil), sementara akurasinya sama dengan Lini B. Ini berarti Lini A menghasilkan produk dengan ukuran yang lebih konsisten, yang sangat penting dalam pengendalian kualitas.

Untuk aplikasi ini, kita dapat menghitung interval kepercayaan 95% menggunakan standar deviasi:

Lini A: 15.02 ± 1.96 × 0.2 = [14.63, 15.41] mm

Lini B: 14.98 ± 1.96 × 0.3 = [14.39, 15.57] mm

Lini A memiliki interval kepercayaan yang lebih sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Penggunaan Varians dalam Dunia Nyata:

Pengendalian kualitas di industri manufaktur
Manajemen risiko dalam investasi keuangan
Pengukuran reliabilitas alat ukur dan instrumen
Evaluasi metode pengajaran dalam pendidikan
Optimasi proses dalam berbagai bidang industri

Contoh Perhitungan

Misal sebuah dadu adil dilempar. Varians dari hasil lemparan adalah:

\[ E(X) = 3.5 \] \[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \] \[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{91}{6} - \frac{73.5}{6} = \frac{17.5}{6} \approx 2.92 \]

Jadi varians dari hasil lemparan dadu adalah sekitar 2.92 dan standar deviasinya adalah \(\sqrt{2.92} \approx 1.71\).

Visualisasi Varians

Grafik di bawah menunjukkan bagaimana varians mempengaruhi bentuk distribusi. Geser slider untuk melihat perubahan.

Nilai Varians:

Nilai Mean:

Fungsi Pembangkit Momen

Definisi dan Arti Intuitif

Fungsi pembangkit momen (moment generating function/MGF) dari peubah acak \(X\) dinotasikan dengan \(M_X(t)\) didefinisikan sebagai:

Arti Intuitif:

Fungsi pembangkit momen bisa dibayangkan sebagai "penyimpan informasi" dari suatu distribusi peluang. Seperti kode genetik yang mengandung informasi tentang makhluk hidup, MGF mengandung informasi lengkap tentang distribusi probabilitas. Melalui turunan MGF, kita dapat mengekstrak "ciri-ciri" (momen) dari distribusi, seperti ekspektasi, varians, kemiringan (skewness), dan kurtosis.

\[ M_X(t) = E(e^{tX}) \]

Untuk peubah acak diskrit:

\[ M_X(t) = \sum_{i=1}^{n} e^{tx_i} \cdot p_i \]

Untuk peubah acak kontinu:

\[ M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \cdot f(x) \, dx \]

Keguanaan Fungsi Pembangkit Momen

Mengidentifikasi distribusi peubah acak
Menghitung momen ke-n dengan mudah melalui turunan ke-n dari MGF
Mempermudah perhitungan momen dari penjumlahan peubah acak yang independen
Membuktikan teorema limit pusat dan hukum bilangan besar

Hubungan dengan Momen

Momen ke-n dari peubah acak \(X\) dapat dihitung dengan turunan ke-n dari MGF yang dievaluasi pada \(t = 0\):

\[ E(X^n) = \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\bigg|_{t=0} \]

Khususnya:

Momen pertama (ekspektasi): \(E(X) = M'_X(0)\)
Momen kedua: \(E(X^2) = M''_X(0)\)
Varians: \(Var(X) = M''_X(0) - [M'_X(0)]^2\)

Studi Kasus: Analisis Penyebaran Penyakit

Kasus: Modelisasi Penyebaran COVID-19

Tim peneliti epidemiologi sedang melakukan kajian tentang jumlah kasus COVID-19 baru per hari di suatu kota. Dari data historis, diketahui bahwa jumlah kasus baru mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 12 kasus per hari.

Mereka ingin mengetahui:

Berapa probabilitas terjadi lebih dari 15 kasus dalam sehari?
Berapa ekspektasi dan varians dari jumlah kasus dalam seminggu?

Analisis dan Solusi dengan MGF:

Langkah 1: Identifikasi distribusi dan parameternya.

Jumlah kasus per hari (X) berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 12.

Langkah 2: Tentukan MGF dari distribusi Poisson.

MGF dari distribusi Poisson dengan parameter λ adalah:

\[ M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} = e^{12(e^t - 1)} \]

Langkah 3: Hitung probabilitas terjadi lebih dari 15 kasus.

Untuk distribusi Poisson, probabilitas ini dihitung dengan:

\[ P(X > 15) = 1 - P(X \leq 15) = 1 - \sum_{k=0}^{15} \frac{e^{-12} \cdot 12^k}{k!} \]

Dengan perhitungan:

\[ P(X > 15) \approx 1 - 0.8578 = 0.1422 \]

Jadi, probabilitas terjadi lebih dari 15 kasus dalam sehari adalah sekitar 14.22%.

Langkah 4: Tentukan MGF untuk jumlah kasus dalam seminggu.

Jika X₁, X₂, ..., X₇ adalah jumlah kasus pada hari ke-1 sampai ke-7, dan semua X₁ berdistribusi Poisson(12) yang independen, maka jumlah kasus dalam seminggu adalah S = X₁ + X₂ + ... + X₇.

Menggunakan sifat MGF untuk variabel independen:

\[ M_S(t) = [M_X(t)]^7 = [e^{12(e^t - 1)}]^7 = e^{84(e^t - 1)} \]

Ini adalah MGF dari distribusi Poisson dengan parameter λ = 84. Jadi, S ~ Poisson(84).

Langkah 5: Hitung ekspektasi dan varians dari S menggunakan MGF.

Untuk distribusi Poisson, ekspektasi dan varians sama dengan nilai parameternya:

\[ E(S) = Var(S) = 84 \]

Kesimpulan: Probabilitas terjadi lebih dari 15 kasus COVID-19 dalam sehari adalah sekitar 14.22%. Ekspektasi jumlah kasus dalam seminggu adalah 84 dengan varians juga 84. Informasi ini sangat berharga untuk perencanaan kapasitas rumah sakit dan sumber daya kesehatan.

Penggunaan MGF dalam Dunia Nyata:

Modelisasi penyebaran penyakit dalam epidemiologi
Analisis risiko dalam asuransi dan keuangan
Pemodelan waktu tunggu dalam teori antrian
Analisis reabilitas dalam teknik
Pemrosesan sinyal dan teori informasi

Contoh MGF untuk Beberapa Distribusi

Distribusi Normal \(N(\mu, \sigma^2)\):

\[ M_X(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} \]

Distribusi Binomial \(B(n, p)\):

\[ M_X(t) = (pe^t + q)^n \text{ dimana } q = 1-p \]

Distribusi Poisson \(Poisson(\lambda)\):

\[ M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} \]

Distribusi Eksponensial \(Exp(\lambda)\):

\[ M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t} \text{ untuk } t < \lambda \]

Visualisasi MGF

Grafik di bawah menunjukkan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan parameter yang berbeda.

Mean (μ):

Varians (σ²):

Ketidaksamaan Chebyshev

Definisi dan Arti Intuitif

Ketidaksamaan Chebyshev adalah teorema dalam teori probabilitas yang menyediakan batas atas untuk probabilitas bahwa nilai peubah acak berbeda dari ekspektasinya dengan jumlah tertentu.

Arti Intuitif:

Ketidaksamaan Chebyshev bisa dibayangkan sebagai "jaring keselamatan" dalam analisis data. Tanpa mengetahui bentuk distribusi sebenarnya (yang sering kali sulit diketahui dalam praktik), Chebyshev memberikan jaminan minimal tentang seberapa tersebar data di sekitar nilai rata-ratanya. Seperti pernyataan "Setidaknya 75% nilai berada dalam 2 standar deviasi dari mean" yang berlaku untuk SEMUA distribusi, tidak peduli seberapa aneh bentuknya.

\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

Dimana:

\(X\) adalah peubah acak dengan nilai harapan \(\mu\) dan standar deviasi \(\sigma\)
\(k\) adalah bilangan positif
\(P(|X - \mu| \geq k\sigma)\) adalah probabilitas bahwa \(X\) berbeda dari \(\mu\) dengan paling sedikit \(k\sigma\)

Bentuk Alternatif

Ketidaksamaan Chebyshev juga sering ditulis dalam bentuk:

\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]

Ini menyatakan bahwa setidaknya \(1 - \frac{1}{k^2}\) dari nilai-nilai peubah acak berada dalam \(k\) standar deviasi dari nilai harapan.

Studi Kasus: Jajak Pendapat Pilkada

Kasus: Margin of Error dalam Survei Pemilihan Kepala Daerah

Sebuah lembaga survei melakukan jajak pendapat untuk pemilihan gubernur di Provinsi X. Berdasarkan sampel acak 1.000 responden, kandidat A mendapatkan dukungan sebesar 55%. Diketahui dari survei sebelumnya, standar deviasi untuk proporsi dukungan adalah sekitar 0.025 (2.5%).

Tim kampanye ingin mengetahui:

Berapa batas minimal persentase dukungan sebenarnya untuk kandidat A dengan tingkat kepercayaan 75%?
Jika ingin tingkat kepercayaan 96%, berapa batas minimal dan maksimal persentase dukungan?

Analisis dan Solusi:

Langkah 1: Identifikasi parameter.

Proporsi sampel (p̂) = 0.55 (55%)

Standar deviasi (σ) = 0.025 (2.5%)

Langkah 2: Tentukan nilai k untuk tingkat kepercayaan 75% menggunakan ketidaksamaan Chebyshev.

Dari Chebyshev, tingkat kepercayaan adalah \(1 - \frac{1}{k^2}\). Untuk tingkat kepercayaan 75%:

\[ 0.75 = 1 - \frac{1}{k^2} \] \[ \frac{1}{k^2} = 0.25 \] \[ k^2 = 4 \] \[ k = 2 \]

Langkah 3: Hitung interval untuk tingkat kepercayaan 75%.

Interval: p̂ ± kσ = 0.55 ± 2 × 0.025 = 0.55 ± 0.05 = [0.50, 0.60]

Jadi, dengan tingkat kepercayaan 75%, persentase dukungan sebenarnya untuk kandidat A setidaknya 50%.

Langkah 4: Tentukan nilai k untuk tingkat kepercayaan 96%.

\[ 0.96 = 1 - \frac{1}{k^2} \] \[ \frac{1}{k^2} = 0.04 \] \[ k^2 = 25 \] \[ k = 5 \]

Langkah 5: Hitung interval untuk tingkat kepercayaan 96%.

Interval: p̂ ± kσ = 0.55 ± 5 × 0.025 = 0.55 ± 0.125 = [0.425, 0.675]

Kesimpulan: Dengan tingkat kepercayaan 75%, dukungan sebenarnya untuk kandidat A berkisar antara 50% dan 60%. Dengan tingkat kepercayaan yang lebih tinggi yaitu 96%, interval menjadi lebih lebar, berkisar antara 42.5% dan 67.5%. Ini menunjukkan trade-off antara tingkat kepercayaan dan presisi estimasi.

Catatan Penting: Dalam praktiknya, untuk jajak pendapat dengan sampel besar seperti ini, teorema limit pusat memungkinkan penggunaan distribusi normal untuk mendapatkan interval yang lebih sempit. Ketidaksamaan Chebyshev memberikan batas yang lebih konservatif tetapi berlaku untuk semua distribusi.

Penggunaan Ketidaksamaan Chebyshev dalam Dunia Nyata:

Analisis jajak pendapat dan survei opini publik
Pengendalian kualitas dalam industri
Analisis risiko dalam keputusan investasi
Desain algoritma machine learning yang robust
Estimasi error dalam pengukuran ilmiah ketika distribusinya tidak diketahui

Signifikansi Ketidaksamaan Chebyshev

Berlaku untuk semua distribusi probabilitas yang memiliki varians terbatas
Memberikan batas probabilitas tanpa perlu mengetahui distribusi secara spesifik
Berguna ketika distribusi populasi tidak diketahui atau tidak normal
Menjadi dasar teorema limit pusat (central limit theorem)

Contoh Aplikasi

Misalkan peubah acak \(X\) memiliki nilai harapan \(\mu = 50\) dan standar deviasi \(\sigma = 5\). Dengan menggunakan ketidaksamaan Chebyshev:

Untuk \(k = 2\):

\[ P(|X - 50| \geq 2 \times 5) = P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Jadi, probabilitas bahwa nilai \(X\) berbeda dari 50 dengan paling sedikit 10 unit tidak lebih dari 0.25 atau 25%.

Dalam bentuk alternatif:

\[ P(|X - 50| < 10) \geq 1 - \frac{1}{4} = 0.75 = 75\% \]

Jadi, setidaknya 75% dari nilai-nilai \(X\) berada dalam interval \([40, 60]\).

Visualisasi Ketidaksamaan Chebyshev

Grafik di bawah menunjukkan batas Chebyshev untuk berbagai nilai k. Geser slider untuk melihat perubahan batas.

Nilai k:

Probabilitas maksimum berdasarkan Chebyshev:

0.25