Pendahuluan: Ekspektasi Dua Peubah Acak
Ekspektasi (nilai harapan) adalah salah satu konsep dasar dalam teori probabilitas. Untuk dua peubah acak, konsep ekspektasi menjadi lebih kompleks dan menarik. Pada materi ini, kita akan mempelajari:
- Ekspektasi gabungan dari dua peubah acak
- Ekspektasi bersyarat dan propertinya
- Rata-rata bersyarat sebagai peubah acak
- Perkalian dua momen dan aplikasinya
Mengapa Materi Ini Penting?
Konsep ekspektasi dua peubah acak memiliki aplikasi penting dalam:
- Statistika inferensial
- Teori keputusan
- Ekonometrika
- Pemodelan keuangan
- Pembelajaran mesin dan kecerdasan buatan
Studi Kasus: Ekspektasi dalam Prediksi Cuaca
BMKG menggunakan dua peubah acak untuk memprediksi curah hujan: suhu udara (X) dan kelembaban relatif (Y). Data historis menunjukkan bahwa ketika suhu rendah (X=rendah) dan kelembaban tinggi (Y=tinggi), probabilitas hujan lebat adalah 0.8.
Dengan menggunakan konsep ekspektasi bersyarat, para ahli meteorologi dapat menghitung ekspektasi curah hujan E[Z|X=rendah,Y=tinggi] dan menggunakannya untuk memberikan peringatan banjir yang lebih akurat. Ini membantu pemerintah melakukan evakuasi tepat waktu dan mengurangi risiko bencana.
Mari kita mulai dengan mengingat kembali definisi ekspektasi untuk satu peubah acak sebelum kita memperluas konsep ini ke dua peubah acak.
Untuk peubah acak diskrit \(X\) dengan fungsi massa probabilitas \(p(x)\), ekspektasi didefinisikan sebagai:
\[ E[X] = \sum_x x \cdot p(x) \]
Untuk peubah acak kontinu \(X\) dengan fungsi kepadatan probabilitas \(f(x)\), ekspektasi didefinisikan sebagai:
\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]
Simulasi Interaktif: Ekspektasi Satu Peubah Acak
Pilih jenis distribusi dan parameter untuk melihat ekspektasi dari peubah acak.
Ekspektasi: 0
Ekspektasi Gabungan (Joint Expectation)
Ekspektasi gabungan adalah konsep yang digunakan untuk menghitung nilai harapan dari fungsi yang melibatkan dua atau lebih peubah acak. Ketika kita memiliki dua peubah acak \(X\) dan \(Y\), ekspektasi gabungan dari fungsi \(g(X,Y)\) didefinisikan sebagai:
Untuk peubah acak diskrit \(X\) dan \(Y\) dengan fungsi massa probabilitas gabungan \(p(x,y)\):
\[ E[g(X,Y)] = \sum_x \sum_y g(x,y) \cdot p(x,y) \]
Untuk peubah acak kontinu \(X\) dan \(Y\) dengan fungsi kepadatan probabilitas gabungan \(f(x,y)\):
\[ E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \cdot f(x,y) \, dx \, dy \]
Studi Kasus: Portofolio Investasi
Seorang investor memiliki portofolio yang terdiri dari dua aset: saham teknologi (X) dan obligasi pemerintah (Y). Return tahunan dari kedua aset ini merupakan peubah acak dengan distribusi gabungan tertentu.
Jika investor mengalokasikan 60% dananya pada saham teknologi dan 40% pada obligasi, return total portofolionya adalah fungsi dari kedua peubah acak ini: R = 0.6X + 0.4Y.
Menggunakan ekspektasi gabungan, investor dapat menghitung return yang diharapkan: \[ E[R] = E[0.6X + 0.4Y] = 0.6E[X] + 0.4E[Y] \] Jika E[X] = 12% dan E[Y] = 5%, maka E[R] = 0.6(12%) + 0.4(5%) = 9.2%
Untuk menganalisis risiko, investor juga perlu mempertimbangkan kovariansi antara kedua aset, yang dapat dihitung dari ekspektasi gabungan E[XY].
Sifat-sifat Ekspektasi Gabungan
- Linieritas: \[ E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \] di mana \(a\) dan \(b\) adalah konstanta.
- Independensi: Jika \(X\) dan \(Y\) adalah peubah acak independen, maka: \[ E[XY] = E[X] \cdot E[Y] \]
- Kovariansi: \[ Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \] Jika \(X\) dan \(Y\) independen, maka \(Cov(X,Y) = 0\) (tetapi kebalikannya belum tentu benar).
Contoh: Ekspektasi Gabungan Dua Peubah Acak Diskrit
Misalkan kita memiliki dua peubah acak diskrit \(X\) dan \(Y\) dengan distribusi probabilitas gabungan berikut:
| p(x,y) | Y=1 | Y=2 | Y=3 |
|---|---|---|---|
| X=1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| X=2 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
| X=3 | 0.05 | 0.1 | 0.05 |
Mari kita hitung:
- Ekspektasi \(E[X]\) dan \(E[Y]\)
- Ekspektasi dari hasil kali \(E[XY]\)
- Kovariansi \(Cov(X,Y)\)
Solusi:
1. Menghitung \(E[X]\) dan \(E[Y]\):
Distribusi marginal \(X\):
- P(X=1) = 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3
- P(X=2) = 0.2 + 0.2 + 0.1 = 0.5
- P(X=3) = 0.05 + 0.1 + 0.05 = 0.2
\(E[X] = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 0.3 + 1.0 + 0.6 = 1.9\)
Distribusi marginal \(Y\):
- P(Y=1) = 0.1 + 0.2 + 0.05 = 0.35
- P(Y=2) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4
- P(Y=3) = 0.1 + 0.1 + 0.05 = 0.25
\(E[Y] = 1 \cdot 0.35 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.25 = 0.35 + 0.8 + 0.75 = 1.9\)
2. Menghitung \(E[XY]\):
\(E[XY] = \sum_x \sum_y xy \cdot p(x,y)\)
\(E[XY] = 1 \cdot 1 \cdot 0.1 + 1 \cdot 2 \cdot 0.1 + 1 \cdot 3 \cdot 0.1 + 2 \cdot 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 2 \cdot 0.2 + 2 \cdot 3 \cdot 0.1 + 3 \cdot 1 \cdot 0.05 + 3 \cdot 2 \cdot 0.1 + 3 \cdot 3 \cdot 0.05\)
\(E[XY] = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.8 + 0.6 + 0.15 + 0.6 + 0.45 = 3.6\)
3. Menghitung \(Cov(X,Y)\):
\(Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 3.6 - 1.9 \cdot 1.9 = 3.6 - 3.61 = -0.01\)
Nilai kovariansi yang mendekati nol menunjukkan bahwa peubah acak \(X\) dan \(Y\) memiliki hubungan yang lemah.
Visualisasi: Distribusi Gabungan
Berikut adalah visualisasi dari distribusi gabungan pada contoh di atas:
Grafik menunjukkan distribusi probabilitas gabungan untuk peubah acak X dan Y
Ekspektasi Bersyarat (Conditional Expectation)
Ekspektasi bersyarat adalah nilai harapan dari suatu peubah acak dengan syarat bahwa peubah acak lain diketahui nilainya. Konsep ini sangat penting dalam teori probabilitas dan statistika.
Untuk peubah acak diskrit \(X\) dan \(Y\), ekspektasi bersyarat \(X\) diberikan \(Y = y\) didefinisikan sebagai:
\[ E[X|Y=y] = \sum_x x \cdot p(x|y) \]
di mana \(p(x|y)\) adalah probabilitas bersyarat \(X=x\) diberikan \(Y=y\).
Untuk peubah acak kontinu, ekspektasi bersyarat didefinisikan sebagai:
\[ E[X|Y=y] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{X|Y}(x|y) \, dx \]
di mana \(f_{X|Y}(x|y)\) adalah fungsi kepadatan probabilitas bersyarat \(X\) diberikan \(Y=y\).
Studi Kasus: Asuransi Kesehatan
Sebuah perusahaan asuransi kesehatan menganalisis biaya perawatan medis tahunan (X) dalam juta rupiah berdasarkan usia pasien (Y) dalam kelompok dekade (20-an, 30-an, 40-an, dll.).
Data historis menunjukkan bahwa ekspektasi biaya bersyarat berbeda-beda untuk tiap kelompok usia:
- E[X|Y=20-an] = 5 juta rupiah
- E[X|Y=30-an] = 8 juta rupiah
- E[X|Y=40-an] = 12 juta rupiah
- E[X|Y=50-an] = 20 juta rupiah
- E[X|Y=60-an keatas] = 35 juta rupiah
Perusahaan asuransi menggunakan ekspektasi bersyarat ini untuk menentukan premi asuransi yang berbeda untuk tiap kelompok usia. Pendekatan ini memungkinkan perusahaan menawarkan premi yang lebih adil berdasarkan risiko yang diharapkan.
Sebagai contoh, jika distribusi usia pelanggan mereka adalah: 30% usia 20-an, 25% usia 30-an, 20% usia 40-an, 15% usia 50-an, dan 10% usia 60-an keatas, maka ekspektasi biaya keseluruhan dapat dihitung menggunakan Hukum Ekspektasi Total: \[ E[X] = 5(0.3) + 8(0.25) + 12(0.2) + 20(0.15) + 35(0.1) = 12.25 \text{ juta rupiah} \]
Sifat-sifat Ekspektasi Bersyarat
- Hukum Ekspektasi Total (Law of Total Expectation): \[ E[X] = E[E[X|Y]] = \sum_y E[X|Y=y] \cdot p(y) \] Atau untuk kasus kontinu: \[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} E[X|Y=y] \cdot f_Y(y) \, dy \]
- Linieritas: \[ E[aX + bZ | Y] = aE[X|Y] + bE[Z|Y] \] di mana \(a\) dan \(b\) adalah konstanta.
- Independensi: Jika \(X\) dan \(Y\) independen, maka: \[ E[X|Y] = E[X] \] Artinya, jika \(X\) dan \(Y\) independen, mengetahui nilai \(Y\) tidak memberikan informasi tambahan tentang nilai harapan \(X\).
Contoh: Ekspektasi Bersyarat untuk Peubah Acak Diskrit
Kita gunakan distribusi gabungan yang sama seperti pada contoh sebelumnya:
| p(x,y) | Y=1 | Y=2 | Y=3 |
|---|---|---|---|
| X=1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| X=2 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
| X=3 | 0.05 | 0.1 | 0.05 |
Kita akan menghitung:
- Ekspektasi bersyarat \(E[X|Y=1]\), \(E[X|Y=2]\), dan \(E[X|Y=3]\)
- Verifikasi hukum ekspektasi total
Solusi:
1. Menghitung ekspektasi bersyarat:
Pertama, kita perlu menghitung distribusi bersyarat \(p(x|y)\):
Untuk \(Y=1\):
P(Y=1) = 0.35
- P(X=1|Y=1) = P(X=1,Y=1)/P(Y=1) = 0.1/0.35 = 0.286
- P(X=2|Y=1) = P(X=2,Y=1)/P(Y=1) = 0.2/0.35 = 0.571
- P(X=3|Y=1) = P(X=3,Y=1)/P(Y=1) = 0.05/0.35 = 0.143
\(E[X|Y=1] = 1 \cdot 0.286 + 2 \cdot 0.571 + 3 \cdot 0.143 = 0.286 + 1.142 + 0.429 = 1.857\)
Untuk \(Y=2\):
P(Y=2) = 0.4
- P(X=1|Y=2) = P(X=1,Y=2)/P(Y=2) = 0.1/0.4 = 0.25
- P(X=2|Y=2) = P(X=2,Y=2)/P(Y=2) = 0.2/0.4 = 0.5
- P(X=3|Y=2) = P(X=3,Y=2)/P(Y=2) = 0.1/0.4 = 0.25
\(E[X|Y=2] = 1 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.25 = 0.25 + 1 + 0.75 = 2\)
Untuk \(Y=3\):
P(Y=3) = 0.25
- P(X=1|Y=3) = P(X=1,Y=3)/P(Y=3) = 0.1/0.25 = 0.4
- P(X=2|Y=3) = P(X=2,Y=3)/P(Y=3) = 0.1/0.25 = 0.4
- P(X=3|Y=3) = P(X=3,Y=3)/P(Y=3) = 0.05/0.25 = 0.2
\(E[X|Y=3] = 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.2 = 0.4 + 0.8 + 0.6 = 1.8\)
2. Verifikasi Hukum Ekspektasi Total:
\(E[X] = E[E[X|Y]] = \sum_y E[X|Y=y] \cdot p(y)\)
\(E[X] = E[X|Y=1] \cdot P(Y=1) + E[X|Y=2] \cdot P(Y=2) + E[X|Y=3] \cdot P(Y=3)\)
\(E[X] = 1.857 \cdot 0.35 + 2 \cdot 0.4 + 1.8 \cdot 0.25\)
\(E[X] = 0.65 + 0.8 + 0.45 = 1.9\)
Hasil ini sesuai dengan nilai \(E[X] = 1.9\) yang kita hitung pada bagian Ekspektasi Gabungan, yang memverifikasi Hukum Ekspektasi Total.
Simulasi Interaktif: Ekspektasi Bersyarat
Pilih nilai Y untuk melihat distribusi bersyarat X|Y dan nilai ekspektasi bersyarat E[X|Y].
Ekspektasi Bersyarat E[X|Y=1]: 1.857
Rata-rata Bersyarat (Conditional Mean)
Rata-rata bersyarat adalah konsep yang memperlakukan ekspektasi bersyarat sebagai suatu fungsi dari peubah acak. Berbeda dengan ekspektasi bersyarat yang merupakan nilai numerik untuk setiap nilai \(y\) yang diberikan, rata-rata bersyarat adalah suatu peubah acak.
Didefinisikan rata-rata bersyarat sebagai:
\[ \mu_{X|Y} = E[X|Y] \]
Ini adalah peubah acak yang nilainya bergantung pada nilai Y yang diobservasi.
Studi Kasus: Prediksi Nilai Ujian
Departemen Pendidikan ingin memprediksi nilai ujian akhir (X) siswa berdasarkan nilai ujian tengah semester (Y). Mereka mengumpulkan data dari tahun-tahun sebelumnya dan membuat model prediksi menggunakan rata-rata bersyarat.
Data menunjukkan bahwa rata-rata nilai ujian akhir bersyarat pada nilai ujian tengah semester adalah:
\[ E[X|Y] = 30 + 0.7Y \]
Ini berarti untuk seorang siswa dengan nilai ujian tengah semester 80, prediksi nilai ujian akhirnya adalah: \[ E[X|Y=80] = 30 + 0.7(80) = 30 + 56 = 86 \]
Namun, nilai prediksi ini memiliki variansi bersyarat \(Var(X|Y) = 36\), yang berarti meskipun kita tahu nilai ujian tengah semester, masih ada ketidakpastian dalam prediksi.
Dengan menggunakan Hukum Variansi Total, kita dapat mendekomposisi variansi total nilai ujian akhir: \[ Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y]) = 36 + Var(30 + 0.7Y) = 36 + 0.49 \cdot Var(Y) \]
Sifat-sifat Rata-rata Bersyarat
- Ekspektasi dari Rata-rata Bersyarat: \[ E[E[X|Y]] = E[X] \] Ini adalah formula matematis dari Hukum Ekspektasi Total.
- Variansi: Menurut Hukum Variansi Total (Law of Total Variance): \[ Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y]) \] Ini mendekomposisi variansi total menjadi ekspektasi dari variansi bersyarat dan variansi dari rata-rata bersyarat.
- Proyeksi Terbaik: \(E[X|Y]\) adalah proyeksi terbaik dari \(X\) dalam ruang peubah acak yang merupakan fungsi dari \(Y\), dalam arti kuadrat terkecil (mean squared error).
Penting untuk memahami bahwa rata-rata bersyarat \(E[X|Y]\) adalah peubah acak yang bergantung pada nilai \(Y\). Ini berbeda dengan ekspektasi bersyarat \(E[X|Y=y]\) yang merupakan nilai numerik untuk nilai \(y\) tertentu.
Contoh: Rata-rata Bersyarat sebagai Peubah Acak
Dari contoh yang telah kita bahas sebelumnya, kita telah menghitung:
- \(E[X|Y=1] = 1.857\)
- \(E[X|Y=2] = 2\)
- \(E[X|Y=3] = 1.8\)
Kita dapat mendefinisikan rata-rata bersyarat \(E[X|Y]\) sebagai peubah acak:
Rata-rata bersyarat ini adalah peubah acak karena nilainya bergantung pada nilai \(Y\) yang merupakan peubah acak. Mari kita hitung ekspektasi dan variansi dari rata-rata bersyarat ini.
Solusi:
1. Menghitung \(E[E[X|Y]]\):
\(E[E[X|Y]] = \sum_y E[X|Y=y] \cdot p(y)\)
\(E[E[X|Y]] = 1.857 \cdot 0.35 + 2 \cdot 0.4 + 1.8 \cdot 0.25 = 0.65 + 0.8 + 0.45 = 1.9\)
Ini sama dengan \(E[X] = 1.9\), yang sesuai dengan Hukum Ekspektasi Total.
2. Menghitung \(Var(E[X|Y])\):
\(Var(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])^2] - (E[E[X|Y]])^2\)
\(E[(E[X|Y])^2] = (1.857)^2 \cdot 0.35 + (2)^2 \cdot 0.4 + (1.8)^2 \cdot 0.25\)
\(E[(E[X|Y])^2] = 3.448 \cdot 0.35 + 4 \cdot 0.4 + 3.24 \cdot 0.25 = 1.207 + 1.6 + 0.81 = 3.617\)
\(Var(E[X|Y]) = 3.617 - (1.9)^2 = 3.617 - 3.61 = 0.007\)
3. Menghitung \(Var(X|Y)\) untuk setiap nilai \(Y\):
Untuk \(Y=1\):
\(Var(X|Y=1) = E[X^2|Y=1] - (E[X|Y=1])^2\)
\(E[X^2|Y=1] = 1^2 \cdot 0.286 + 2^2 \cdot 0.571 + 3^2 \cdot 0.143 = 0.286 + 2.284 + 1.287 = 3.857\)
\(Var(X|Y=1) = 3.857 - (1.857)^2 = 3.857 - 3.448 = 0.409\)
Untuk \(Y=2\):
\(Var(X|Y=2) = E[X^2|Y=2] - (E[X|Y=2])^2\)
\(E[X^2|Y=2] = 1^2 \cdot 0.25 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.25 = 0.25 + 2 + 2.25 = 4.5\)
\(Var(X|Y=2) = 4.5 - (2)^2 = 4.5 - 4 = 0.5\)
Untuk \(Y=3\):
\(Var(X|Y=3) = E[X^2|Y=3] - (E[X|Y=3])^2\)
\(E[X^2|Y=3] = 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.2 = 0.4 + 1.6 + 1.8 = 3.8\)
\(Var(X|Y=3) = 3.8 - (1.8)^2 = 3.8 - 3.24 = 0.56\)
4. Menghitung \(E[Var(X|Y)]\):
\(E[Var(X|Y)] = \sum_y Var(X|Y=y) \cdot p(y)\)
\(E[Var(X|Y)] = 0.409 \cdot 0.35 + 0.5 \cdot 0.4 + 0.56 \cdot 0.25\)
\(E[Var(X|Y)] = 0.143 + 0.2 + 0.14 = 0.483\)
5. Verifikasi Hukum Variansi Total:
\(Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])\)
\(Var(X) = 0.483 + 0.007 = 0.49\)
Mari verifikasi dengan menghitung \(Var(X)\) secara langsung:
\(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\)
\(E[X^2] = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.2 = 0.3 + 2 + 1.8 = 4.1\)
\(Var(X) = 4.1 - (1.9)^2 = 4.1 - 3.61 = 0.49\)
Ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dari Hukum Variansi Total, yang memverifikasi kebenaran konsep tersebut.
Visualisasi: Rata-rata Bersyarat sebagai Peubah Acak
Berikut adalah visualisasi distribusi rata-rata bersyarat \(E[X|Y]\) sebagai peubah acak:
Grafik menunjukkan distribusi probabilitas dari rata-rata bersyarat E[X|Y]
Perkalian Dua Momen (Product of Two Moments)
Perkalian dua momen (atau momen produk) adalah ekspektasi dari produk dua peubah acak yang dipangkatkan dengan eksponen tertentu. Momen produk berperan penting dalam analisis korelasi, kovariansi, dan dalam karakterisasi distribusi gabungan dari peubah acak.
Momen produk dari orde \(r,s\) untuk peubah acak \(X\) dan \(Y\) didefinisikan sebagai:
\[ \mu_{r,s} = E[X^r Y^s] \]
Beberapa kasus khusus yang penting:
- \(\mu_{1,0} = E[X]\) adalah nilai harapan dari \(X\)
- \(\mu_{0,1} = E[Y]\) adalah nilai harapan dari \(Y\)
- \(\mu_{1,1} = E[XY]\) adalah nilai harapan dari produk \(X\) dan \(Y\)
Studi Kasus: Optimalisasi Portofolio Keuangan
Seorang manajer portofolio di perusahaan investasi mengelola dana klien dengan mengalokasikan investasi di antara beberapa kelas aset. Kovariansi antar aset, yang dihitung dari perkalian momen, sangat penting dalam proses ini.
Misalkan manajer harus membagi investasi antara saham (X) dan obligasi (Y) dengan return tahunan dimodelkan sebagai peubah acak dengan:
- E[X] = 12% (return yang diharapkan dari saham)
- E[Y] = 5% (return yang diharapkan dari obligasi)
- Var(X) = 400 (volatilitas saham tinggi)
- Var(Y) = 25 (volatilitas obligasi rendah)
- E[XY] = 30 (perkalian momen orde pertama)
Kovariansi antara return saham dan obligasi dapat dihitung sebagai: \[ Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 30 - 12 \cdot 5 = 30 - 60 = -30 \]
Nilai kovariansi negatif ini mengindikasikan bahwa ketika saham berkinerja buruk, obligasi cenderung berkinerja baik, dan sebaliknya. Ini adalah sifat yang sangat diinginkan dalam diversifikasi portofolio.
Koefisien korelasi antara kedua aset adalah: \[ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{-30}{\sqrt{400 \cdot 25}} = \frac{-30}{100} = -0.3 \]
Sifat-sifat dan Aplikasi Momen Produk
- Kovariansi: \[ Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \mu_{1,1} - \mu_{1,0}\mu_{0,1} \]
- Koefisien Korelasi: \[ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{\mu_{1,1} - \mu_{1,0}\mu_{0,1}}{\sqrt{(\mu_{2,0} - \mu_{1,0}^2)(\mu_{0,2} - \mu_{0,1}^2)}} \]
- Independensi: Jika \(X\) dan \(Y\) independen, maka untuk semua \(r\) dan \(s\): \[ \mu_{r,s} = \mu_{r,0} \cdot \mu_{0,s} \] Khususnya, \(E[XY] = E[X]E[Y]\).
- Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function): \[ M_{X,Y}(t_1, t_2) = E[e^{t_1X + t_2Y}] \] Momen produk dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen: \[ \mu_{r,s} = \frac{\partial^{r+s}}{\partial t_1^r \partial t_2^s} M_{X,Y}(t_1, t_2) \bigg|_{t_1=0, t_2=0} \]
Contoh: Menghitung Momen Produk untuk Distribusi Gabungan
Kita kembali menggunakan distribusi gabungan yang telah kita gunakan sebelumnya:
| p(x,y) | Y=1 | Y=2 | Y=3 |
|---|---|---|---|
| X=1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| X=2 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
| X=3 | 0.05 | 0.1 | 0.05 |
Mari kita hitung beberapa momen produk dan menggunakannya untuk karakterisasi distribusi:
Solusi:
1. Menghitung momen orde pertama:
\(\mu_{1,0} = E[X] = 1.9\) (sudah dihitung sebelumnya)
\(\mu_{0,1} = E[Y] = 1.9\) (sudah dihitung sebelumnya)
2. Menghitung momen produk \(\mu_{1,1} = E[XY]\):
\(\mu_{1,1} = E[XY] = 3.6\) (sudah dihitung sebelumnya)
3. Menghitung momen orde kedua untuk X dan Y:
\(\mu_{2,0} = E[X^2] = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.2 = 0.3 + 2 + 1.8 = 4.1\)
\(\mu_{0,2} = E[Y^2] = 1^2 \cdot 0.35 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.25 = 0.35 + 1.6 + 2.25 = 4.2\)
4. Menghitung momen produk \(\mu_{2,1} = E[X^2Y]\):
\(\mu_{2,1} = E[X^2Y] = \sum_x \sum_y x^2 y \cdot p(x,y)\)
\(\mu_{2,1} = 1^2 \cdot 1 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 3 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 1 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 3 \cdot 0.1 + 3^2 \cdot 1 \cdot 0.05 + 3^2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 3^2 \cdot 3 \cdot 0.05\)
\(\mu_{2,1} = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.8 + 1.6 + 1.2 + 0.45 + 1.8 + 1.35 = 7.8\)
5. Menghitung kovariansi dan koefisien korelasi:
\(Cov(X,Y) = \mu_{1,1} - \mu_{1,0}\mu_{0,1} = 3.6 - 1.9 \cdot 1.9 = 3.6 - 3.61 = -0.01\)
\(Var(X) = \mu_{2,0} - \mu_{1,0}^2 = 4.1 - 1.9^2 = 4.1 - 3.61 = 0.49\)
\(Var(Y) = \mu_{0,2} - \mu_{0,1}^2 = 4.2 - 1.9^2 = 4.2 - 3.61 = 0.59\)
\(\rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{-0.01}{\sqrt{0.49 \cdot 0.59}} = \frac{-0.01}{\sqrt{0.2891}} = \frac{-0.01}{0.5377} \approx -0.0186\)
Nilai koefisien korelasi yang mendekati nol menunjukkan bahwa hubungan linear antara \(X\) dan \(Y\) sangat lemah.
Visualisasi: Hubungan antara Peubah Acak \(X\) dan \(Y\)
Berikut adalah visualisasi scatter plot yang menunjukkan hubungan antara \(X\) dan \(Y\):
Scatter plot dengan ukuran lingkaran yang menunjukkan probabilitas \(p(x,y)\)
Aplikasi Perkalian Momen dalam Statistika dan Probabilitas
Momen produk memiliki berbagai aplikasi penting, di antaranya:
- Analisis regresi: Koefisien regresi linear dapat diekspresikan dalam bentuk momen produk.
- Model ANOVA (Analysis of Variance): Dekomposisi variansi menggunakan momen produk.
- Inferensi Bayesian: Menghitung ekspektasi posterior.
- Teori portofolio dalam keuangan: Menggunakan kovariansi antar aset.
Latihan Soal
Berikut adalah beberapa latihan soal untuk menguji pemahaman Anda tentang ekspektasi dua peubah acak.
Aplikasi dalam Dunia Nyata
Konsep ekspektasi dua peubah acak memiliki banyak aplikasi penting dalam berbagai bidang. Beberapa contoh:
- Epidemiologi: Memprediksi penyebaran penyakit berdasarkan faktor demografi (X) dan kepadatan penduduk (Y)
- Ilmu Iklim: Menganalisis hubungan antara suhu global (X) dan tingkat curah hujan (Y)
- Pemasaran: Memahami hubungan antara pengeluaran iklan (X) dan volume penjualan (Y)
- Psikologi: Mempelajari korelasi antara waktu belajar (X) dan skor ujian (Y)
- Asuransi: Menilai risiko berdasarkan usia (X) dan riwayat kesehatan (Y)
Latihan-latihan berikut dirancang untuk mengasah kemampuan Anda menerapkan konsep-konsep ini dalam skenario pemecahan masalah.
Soal 1: Ekspektasi Gabungan
Diberikan dua peubah acak diskrit \(X\) dan \(Y\) dengan distribusi probabilitas gabungan sebagai berikut:
| p(x,y) | Y=0 | Y=1 | Y=2 |
|---|---|---|---|
| X=0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |
| X=1 | 0.1 | 0.3 | 0.1 |
| X=2 | 0 | 0.05 | 0.05 |
Hitunglah:
- Distribusi marginal \(p(x)\) dan \(p(y)\)
- \(E[X]\) dan \(E[Y]\)
- \(E[XY]\)
- \(E[X+Y]\)
- \(E[X^2Y]\)
Solusi:
a. Distribusi marginal:
Distribusi marginal \(p(x)\):
- P(X=0) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4
- P(X=1) = 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.5
- P(X=2) = 0 + 0.05 + 0.05 = 0.1
Distribusi marginal \(p(y)\):
- P(Y=0) = 0.1 + 0.1 + 0 = 0.2
- P(Y=1) = 0.2 + 0.3 + 0.05 = 0.55
- P(Y=2) = 0.1 + 0.1 + 0.05 = 0.25
b. Menghitung \(E[X]\) dan \(E[Y]\):
\(E[X] = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.1 = 0 + 0.5 + 0.2 = 0.7\)
\(E[Y] = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.55 + 2 \cdot 0.25 = 0 + 0.55 + 0.5 = 1.05\)
c. Menghitung \(E[XY]\):
\(E[XY] = \sum_x \sum_y xy \cdot p(x,y)\)
\(E[XY] = 0 \cdot 0 \cdot 0.1 + 0 \cdot 1 \cdot 0.2 + 0 \cdot 2 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 1 \cdot 0.3 + 1 \cdot 2 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 0.05 + 2 \cdot 2 \cdot 0.05\)
\(E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.3 + 0.2 + 0 + 0.1 + 0.2 = 0.8\)
d. Menghitung \(E[X+Y]\):
\(E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 0.7 + 1.05 = 1.75\)
e. Menghitung \(E[X^2Y]\):
\(E[X^2Y] = \sum_x \sum_y x^2y \cdot p(x,y)\)
\(E[X^2Y] = 0^2 \cdot 0 \cdot 0.1 + 0^2 \cdot 1 \cdot 0.2 + 0^2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 1 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0 \cdot 0 + 2^2 \cdot 1 \cdot 0.05 + 2^2 \cdot 2 \cdot 0.05\)
\(E[X^2Y] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.3 + 0.2 + 0 + 0.2 + 0.4 = 1.1\)
Soal 2: Ekspektasi Bersyarat
Menggunakan tabel distribusi gabungan dari Soal 1, hitunglah:
- Distribusi bersyarat \(p(x|y=1)\)
- \(E[X|Y=1]\)
- \(E[X|Y=0]\) dan \(E[X|Y=2]\)
- Verifikasi Hukum Ekspektasi Total: \(E[X] = \sum_y E[X|Y=y] \cdot p(y)\)
Solusi:
a. Distribusi bersyarat \(p(x|y=1)\):
P(Y=1) = 0.55
- P(X=0|Y=1) = P(X=0,Y=1)/P(Y=1) = 0.2/0.55 = 0.3636
- P(X=1|Y=1) = P(X=1,Y=1)/P(Y=1) = 0.3/0.55 = 0.5455
- P(X=2|Y=1) = P(X=2,Y=1)/P(Y=1) = 0.05/0.55 = 0.0909
b. Menghitung \(E[X|Y=1]\):
\(E[X|Y=1] = \sum_x x \cdot p(x|y=1)\)
\(E[X|Y=1] = 0 \cdot 0.3636 + 1 \cdot 0.5455 + 2 \cdot 0.0909 = 0 + 0.5455 + 0.1818 = 0.7273\)
c. Menghitung \(E[X|Y=0]\) dan \(E[X|Y=2]\):
Untuk \(E[X|Y=0]\):
P(Y=0) = 0.2
- P(X=0|Y=0) = P(X=0,Y=0)/P(Y=0) = 0.1/0.2 = 0.5
- P(X=1|Y=0) = P(X=1,Y=0)/P(Y=0) = 0.1/0.2 = 0.5
- P(X=2|Y=0) = P(X=2,Y=0)/P(Y=0) = 0/0.2 = 0
\(E[X|Y=0] = 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0 = 0 + 0.5 + 0 = 0.5\)
Untuk \(E[X|Y=2]\):
P(Y=2) = 0.25
- P(X=0|Y=2) = P(X=0,Y=2)/P(Y=2) = 0.1/0.25 = 0.4
- P(X=1|Y=2) = P(X=1,Y=2)/P(Y=2) = 0.1/0.25 = 0.4
- P(X=2|Y=2) = P(X=2,Y=2)/P(Y=2) = 0.05/0.25 = 0.2
\(E[X|Y=2] = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.2 = 0 + 0.4 + 0.4 = 0.8\)
d. Verifikasi Hukum Ekspektasi Total:
\(E[X] = \sum_y E[X|Y=y] \cdot p(y)\)
\(E[X] = E[X|Y=0] \cdot P(Y=0) + E[X|Y=1] \cdot P(Y=1) + E[X|Y=2] \cdot P(Y=2)\)
\(E[X] = 0.5 \cdot 0.2 + 0.7273 \cdot 0.55 + 0.8 \cdot 0.25\)
\(E[X] = 0.1 + 0.4 + 0.2 = 0.7\)
Hasil ini sesuai dengan nilai \(E[X] = 0.7\) yang kita hitung pada soal sebelumnya, yang memverifikasi Hukum Ekspektasi Total.
Soal 3: Rata-rata Bersyarat dan Hukum Variansi Total
Melanjutkan dari Soal 1 dan 2, hitunglah:
- \(Var(X|Y=0)\), \(Var(X|Y=1)\), dan \(Var(X|Y=2)\)
- \(E[Var(X|Y)]\)
- \(Var(E[X|Y])\)
- Verifikasi Hukum Variansi Total: \(Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])\)
Solusi:
a. Menghitung variansi bersyarat:
Untuk \(Var(X|Y=0)\):
\(E[X|Y=0] = 0.5\) (dari soal sebelumnya)
\(E[X^2|Y=0] = 0^2 \cdot 0.5 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0 = 0 + 0.5 + 0 = 0.5\)
\(Var(X|Y=0) = E[X^2|Y=0] - (E[X|Y=0])^2 = 0.5 - (0.5)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\)
Untuk \(Var(X|Y=1)\):
\(E[X|Y=1] = 0.7273\) (dari soal sebelumnya)
\(E[X^2|Y=1] = 0^2 \cdot 0.3636 + 1^2 \cdot 0.5455 + 2^2 \cdot 0.0909 = 0 + 0.5455 + 0.3636 = 0.9091\)
\(Var(X|Y=1) = E[X^2|Y=1] - (E[X|Y=1])^2 = 0.9091 - (0.7273)^2 = 0.9091 - 0.529 = 0.3801\)
Untuk \(Var(X|Y=2)\):
\(E[X|Y=2] = 0.8\) (dari soal sebelumnya)
\(E[X^2|Y=2] = 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.2 = 0 + 0.4 + 0.8 = 1.2\)
\(Var(X|Y=2) = E[X^2|Y=2] - (E[X|Y=2])^2 = 1.2 - (0.8)^2 = 1.2 - 0.64 = 0.56\)
b. Menghitung \(E[Var(X|Y)]\):
\(E[Var(X|Y)] = \sum_y Var(X|Y=y) \cdot p(y)\)
\(E[Var(X|Y)] = Var(X|Y=0) \cdot P(Y=0) + Var(X|Y=1) \cdot P(Y=1) + Var(X|Y=2) \cdot P(Y=2)\)
\(E[Var(X|Y)] = 0.25 \cdot 0.2 + 0.3801 \cdot 0.55 + 0.56 \cdot 0.25\)
\(E[Var(X|Y)] = 0.05 + 0.209 + 0.14 = 0.399\)
c. Menghitung \(Var(E[X|Y])\):
Kita memiliki:
- \(E[X|Y=0] = 0.5\)
- \(E[X|Y=1] = 0.7273\)
- \(E[X|Y=2] = 0.8\)
\(E[E[X|Y]] = E[X] = 0.7\) (dari soal sebelumnya)
\(E[(E[X|Y])^2] = (E[X|Y=0])^2 \cdot P(Y=0) + (E[X|Y=1])^2 \cdot P(Y=1) + (E[X|Y=2])^2 \cdot P(Y=2)\)
\(E[(E[X|Y])^2] = (0.5)^2 \cdot 0.2 + (0.7273)^2 \cdot 0.55 + (0.8)^2 \cdot 0.25\)
\(E[(E[X|Y])^2] = 0.05 + 0.291 + 0.16 = 0.501\)
\(Var(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])^2] - (E[E[X|Y]])^2 = 0.501 - (0.7)^2 = 0.501 - 0.49 = 0.011\)
d. Verifikasi Hukum Variansi Total:
\(Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])\)
\(Var(X) = 0.399 + 0.011 = 0.41\)
Mari verifikasi dengan menghitung \(Var(X)\) secara langsung:
\(E[X] = 0.7\) (dari soal sebelumnya)
\(E[X^2] = 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.1 = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9\)
\(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 0.9 - (0.7)^2 = 0.9 - 0.49 = 0.41\)
Hasil ini sesuai dengan hasil yang diperoleh dari Hukum Variansi Total, yang memverifikasi kebenaran konsep tersebut.
Soal 4: Perkalian Dua Momen dan Korelasi
Untuk dua peubah acak kontinu \(X\) dan \(Y\) dengan distribusi normal bivariat, diketahui bahwa \(E[X] = 2\), \(E[Y] = 3\), \(Var(X) = 4\), \(Var(Y) = 9\), dan koefisien korelasi \(\rho_{X,Y} = 0.5\).
Hitunglah:
- \(E[XY]\)
- \(E[X^2Y]\)
- \(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\)
- \(E[Y|X=4]\)
- \(Var(Y|X=4)\)
Solusi:
Diketahui:
- \(E[X] = \mu_X = 2\)
- \(E[Y] = \mu_Y = 3\)
- \(Var(X) = \sigma_X^2 = 4\), sehingga \(\sigma_X = 2\)
- \(Var(Y) = \sigma_Y^2 = 9\), sehingga \(\sigma_Y = 3\)
- \(\rho_{X,Y} = 0.5\)
a. Menghitung \(E[XY]\):
Kita tahu bahwa \(Cov(X,Y) = \rho_{X,Y} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y\)
\(Cov(X,Y) = 0.5 \cdot 2 \cdot 3 = 3\)
Kita juga tahu bahwa \(Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\)
\(3 = E[XY] - 2 \cdot 3\)
\(3 = E[XY] - 6\)
\(E[XY] = 9\)
b. Menghitung \(E[X^2Y]\):
Untuk distribusi normal bivariat, kita dapat menggunakan rumus:
\(E[X^2Y] = E[X^2]E[Y] + 2Cov(X,Y)E[X]\)
Kita perlu menghitung \(E[X^2]\) terlebih dahulu:
\(E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = 4 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)
\(E[X^2Y] = E[X^2]E[Y] + 2Cov(X,Y)E[X]\)
\(E[X^2Y] = 8 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 2\)
\(E[X^2Y] = 24 + 12 = 36\)
c. Menghitung \(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\):
\(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = E[(X-2)(Y-3)]\)
\(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = E[XY - 3X - 2Y + 6]\)
\(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = E[XY] - 3E[X] - 2E[Y] + 6\)
\(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = 9 - 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 6\)
\(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = 9 - 6 - 6 + 6 = 3\)
Hasil ini sama dengan \(Cov(X,Y) = 3\), yang memang benar karena \(E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = Cov(X,Y)\).
d. Menghitung \(E[Y|X=4]\):
Untuk distribusi normal bivariat, ekspektasi bersyarat diberikan oleh:
\(E[Y|X=x] = \mu_Y + \rho_{X,Y} \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (x - \mu_X)\)
\(E[Y|X=4] = 3 + 0.5 \cdot \frac{3}{2} \cdot (4 - 2)\)
\(E[Y|X=4] = 3 + 0.5 \cdot 1.5 \cdot 2\)
\(E[Y|X=4] = 3 + 1.5 = 4.5\)
e. Menghitung \(Var(Y|X=4)\):
Untuk distribusi normal bivariat, variansi bersyarat diberikan oleh:
\(Var(Y|X=x) = \sigma_Y^2 (1 - \rho_{X,Y}^2)\)
\(Var(Y|X=4) = 9 \cdot (1 - 0.5^2)\)
\(Var(Y|X=4) = 9 \cdot (1 - 0.25)\)
\(Var(Y|X=4) = 9 \cdot 0.75 = 6.75\)
Perhatikan bahwa variansi bersyarat untuk distribusi normal bivariat tidak bergantung pada nilai \(x\) yang diberikan. Ini adalah sifat khusus dari distribusi normal bivariat.