Mempelajari peluang bersyarat, peristiwa yang saling bebas, partisi ruang sampel, dan aplikasi Dalil Bayes
Peluang bersyarat adalah peluang terjadinya suatu kejadian dengan syarat kejadian lain telah terjadi. Peluang bersyarat kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi, dinotasikan dengan P(A|B).
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
dengan syarat P(B) > 0
Dua dadu dilempar. Berapakah peluang jumlah mata dadu adalah 8, jika diketahui bahwa setidaknya salah satu dadu menunjukkan angka 6?
Penyelesaian:
Misalkan:
A = "jumlah mata dadu adalah 8"
B = "setidaknya satu dadu menunjukkan angka 6"
Kita ingin mencari P(A|B)
Kemungkinan hasil dadu yang berjumlah 8 adalah: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
Dari pasangan tersebut, yang memenuhi B adalah: (2,6), (6,2)
Banyaknya anggota B adalah 11 (kasus dengan setidaknya satu dadu bernilai 6)
Jadi, P(A|B) = 2/11 ≈ 0,182
Diagram Venn menunjukkan irisan antara kejadian A dan B
Dua peristiwa A dan B dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa B, dan sebaliknya.
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
\[ P(A|B) = P(A) \quad \text{dan} \quad P(B|A) = P(B) \]
Sebuah koin dilempar dua kali. Apakah kejadian "mendapatkan gambar pada lemparan pertama" dan "mendapatkan angka pada lemparan kedua" saling bebas?
Penyelesaian:
Misalkan:
A = "mendapatkan gambar pada lemparan pertama"
B = "mendapatkan angka pada lemparan kedua"
P(A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = 1/4 (karena ada 4 kemungkinan hasil: GG, GA, AG, AA)
Karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4, maka A dan B saling bebas.
Jumlah percobaan: 0
Perbandingan hasil simulasi dengan teori
Partisi dari ruang sampel S adalah kumpulan himpunan bagian B₁, B₂, ..., Bₙ yang memenuhi:
1. \( B_i \cap B_j = \emptyset \) untuk \( i \neq j \) (saling lepas)
2. \( B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = S \) (meliputi seluruh ruang sampel)
Dengan partisi, kita dapat menghitung peluang kejadian A menggunakan hukum peluang total:
\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \times P(B_i) \]
Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak lain berisi 2 bola merah dan 4 bola putih. Sebuah koin dilempar, jika muncul gambar maka bola diambil dari kotak pertama, jika muncul angka maka bola diambil dari kotak kedua. Hitung peluang mendapatkan bola merah.
Penyelesaian:
Misalkan:
A = "mendapatkan bola merah"
B₁ = "koin menunjukkan gambar" (kotak pertama)
B₂ = "koin menunjukkan angka" (kotak kedua)
P(B₁) = P(B₂) = 1/2
P(A|B₁) = 3/5 (peluang bola merah dari kotak pertama)
P(A|B₂) = 2/6 = 1/3 (peluang bola merah dari kotak kedua)
Menggunakan hukum peluang total:
P(A) = P(A|B₁) × P(B₁) + P(A|B₂) × P(B₂)
P(A) = (3/5) × (1/2) + (1/3) × (1/2) = 3/10 + 1/6 = 9/30 + 5/30 = 14/30 = 7/15
Visualisasi partisi ruang sampel
Hasil: -
Frekuensi bola merah: 0/0
(0%)
Dalil Bayes digunakan untuk menghitung peluang bersyarat "terbalik", yaitu P(B|A) jika kita mengetahui P(A|B), P(B), dan P(A). Dalil ini memungkinkan kita mengubah peluang prior menjadi peluang posterior berdasarkan informasi baru.
\[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)} \]
Jika kita memiliki partisi ruang sampel B₁, B₂, ..., Bₙ, maka:
\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \times P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j) \times P(B_j)} \]
Sebuah tes medis memiliki tingkat akurasi 95% untuk hasil positif pada pasien yang sakit, dan 90% untuk hasil negatif pada pasien yang sehat. Diketahui 2% populasi menderita penyakit tersebut. Jika seseorang dites positif, berapa peluang orang tersebut benar-benar sakit?
Penyelesaian:
Misalkan:
S = "orang tersebut sakit"
T+ = "hasil tes positif"
Kita ingin mencari P(S|T+)
Diketahui:
P(T+|S) = 0.95 (sensitivitas)
P(T-|S') = 0.90 (spesifisitas)
P(S) = 0.02 (prevalensi)
P(S') = 0.98 (populasi yang sehat)
P(T+|S') = 1 - P(T-|S') = 0.10 (false positive)
Menggunakan Dalil Bayes:
P(S|T+) = [P(T+|S) × P(S)] / [P(T+|S) × P(S) + P(T+|S') × P(S')]
P(S|T+) = [0.95 × 0.02] / [0.95 × 0.02 + 0.10 × 0.98]
P(S|T+) = 0.019 / [0.019 + 0.098] = 0.019 / 0.117 ≈ 0.162 atau 16.2%
Hasil ini mungkin tampak mengejutkan! Meskipun tes memiliki akurasi 95%, peluang seseorang benar-benar sakit setelah hasil tes positif hanya sekitar 16.2%. Ini karena prevalensi penyakit yang rendah (2%), yang menunjukkan pentingnya mempertimbangkan peluang prior dalam analisis Bayesian.
Visualisasi pengaruh parameter pada hasil akhir
Uji pemahaman Anda tentang peluang bersyarat dengan menjawab 5 soal berikut. Pilih jawaban yang benar, kemudian lihat pembahasan untuk memahami solusinya.
Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Jika diketahui bola pertama yang terambil berwarna merah, berapa peluang bola kedua juga berwarna merah?
A. 1/2
B. 4/7
C. 5/8
D. 3/7
Diketahui bola pertama berwarna merah, maka sekarang tersisa 4 bola merah dan 3 bola biru di kantong (total 7 bola). Peluang bola kedua berwarna merah adalah jumlah bola merah yang tersisa dibagi jumlah seluruh bola yang tersisa: \[ P(\text{bola kedua merah} | \text{bola pertama merah}) = \frac{4}{7} \] Jadi, jawaban yang benar adalah B. 4/7.
Dua dadu adil dilempar. Misalkan A adalah kejadian "jumlah mata dadu adalah 7" dan B adalah kejadian "mata dadu pertama adalah 3". Apakah A dan B saling bebas?
A. Ya, karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
B. Tidak, karena P(A|B) ≠ P(A)
C. Ya, karena hasil dadu pertama tidak mempengaruhi jumlah dadu
D. Tidak, karena kedua kejadian berkaitan dengan hasil dadu yang sama
Mari kita periksa apakah P(A ∩ B) = P(A) × P(B):
P(A) = peluang jumlah dadu adalah 7 = 6/36 = 1/6
P(B) = peluang dadu pertama adalah 3 = 1/6
A ∩ B adalah kejadian "dadu pertama adalah 3 DAN jumlah mata dadu adalah 7"
Ini terjadi hanya ketika dadu pertama = 3 dan dadu kedua = 4.
P(A ∩ B) = 1/36
P(A) × P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36
Karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B), maka A dan B saling bebas.
Jawaban yang benar adalah A.
Suatu populasi terdiri dari 30% pria dan 70% wanita. Diketahui bahwa 20% pria dan 5% wanita merokok. Jika seseorang dipilih secara acak dari populasi tersebut, berapa peluang orang tersebut adalah perokok?
A. 0.095
B. 0.125
C. 0.25
D. 0.11
Misalkan:
M = kejadian "orang tersebut adalah pria" dengan P(M) = 0.3
W = kejadian "orang tersebut adalah wanita" dengan P(W) = 0.7
S = kejadian "orang tersebut adalah perokok"
Diketahui:
P(S|M) = 0.2 (peluang pria merokok)
P(S|W) = 0.05 (peluang wanita merokok)
Menggunakan hukum peluang total:
P(S) = P(S|M) × P(M) + P(S|W) × P(W)
P(S) = 0.2 × 0.3 + 0.05 × 0.7
P(S) = 0.06 + 0.035 = 0.095
Jadi, jawaban yang benar adalah A. 0.095.
Suatu tes untuk mendeteksi penyakit tertentu memiliki tingkat akurasi 99% untuk hasil positif pada pasien yang sakit dan 98% untuk hasil negatif pada pasien yang sehat. Jika prevalensi penyakit dalam populasi adalah 0.5%, berapa peluang seseorang yang dites positif benar-benar menderita penyakit tersebut?
A. 99%
B. 33.2%
C. 19.9%
D. 2%
Misalkan:
D = kejadian "orang tersebut menderita penyakit" dengan P(D) = 0.005
D' = kejadian "orang tersebut tidak menderita penyakit" dengan P(D') = 0.995
T+ = kejadian "hasil tes positif"
Diketahui:
P(T+|D) = 0.99 (sensitivitas)
P(T-|D') = 0.98 (spesifisitas)
P(T+|D') = 1 - P(T-|D') = 0.02 (false positive)
Menggunakan Dalil Bayes:
P(D|T+) = [P(T+|D) × P(D)] / [P(T+|D) × P(D) + P(T+|D') × P(D')]
P(D|T+) = [0.99 × 0.005] / [0.99 × 0.005 + 0.02 × 0.995]
P(D|T+) = 0.00495 / [0.00495 + 0.0199] = 0.00495 / 0.02485 ≈ 0.199 atau 19.9%
Jadi, jawaban yang benar adalah C. 19.9%.
Pada suatu permainan kartu, sebuah kartu diambil secara acak dari setumpuk 52 kartu. Kemudian, tanpa melihat hasilnya, kartu tersebut dikembalikan ke tumpukan dan tumpukan dikocok. Selanjutnya, kartu kedua diambil. Jika kedua kartu yang terambil adalah kartu As, berapa peluang bahwa setidaknya satu di antaranya adalah As sekop?
A. 7/16
B. 1/4
C. 1/2
D. 7/13
Misalkan kita definisikan kejadian-kejadian berikut:
A = "kedua kartu yang terambil adalah kartu As"
B = "setidaknya satu kartu adalah As sekop"
Kita ingin mencari P(B|A), yaitu peluang bersyarat bahwa setidaknya satu kartu adalah As sekop,
jika diketahui kedua kartu adalah As.
Dalam setumpuk kartu standar, ada 4 kartu As (sekop, hati, wajik, keriting).
Untuk kejadian A, ada \( \binom{4}{2} = 6 \) cara berbeda untuk memilih 2 kartu As dari 4 kartu As.
Untuk kejadian (A ∩ B), yaitu kedua kartu adalah As dan setidaknya satu adalah As sekop, kita harus menghitung:
- Kasus 1: Kedua kartu adalah As sekop. Ini tidak mungkin karena hanya ada 1 As sekop.
- Kasus 2: Satu kartu adalah As sekop dan satu lagi adalah As lain. Ada 1 cara memilih As sekop dan 3 cara memilih As lain, jadi ada 3 kemungkinan.
Jadi, P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 3/6 = 1/2
Jawaban yang benar adalah C. 1/2.
Skor: 0/5